Bonjour, je suis en 1ère et j'aimerais si possible la correction de cet exercice Merci infiniment

Bonjour 1w00YRWa

[tex]1)\ V_0=20\ et\ R_0=40[/tex]

2) La population des citadins évolue comme ceci : 
90% restent citadins auxquels s'ajoutent 20% de la population rurale.
D'où
[tex]V_{n+1} = 0,9V_n+ 0,2R_n[/tex]

Nous avons également ceci :
80% de la population rurale reste auxquels s'ajoutent 10% des citadins
 D'où 
[tex]R_{n+1} =0,8R_n+0,1V_n[/tex]

Par conséquent, nous avons le système : 

[tex]\left\{\begin{matrix}V_{n+1} = 0,9V_n+ 0,2R_n\\ R_{n+1} = 0,1V_n+0,8R_n\end{matrix}\right.[/tex]

3) a) [tex]S_n [/tex]  est la somme de la population rurale et citadine.
 Selon l’énoncé, cette population totale reste stable.
Par conséquent, nous aurons toujours  [tex]S_n=60[/tex]

b) Par le calcul, 

[tex]S_{n+1}= V_{n+1} + R_{n+1}\\S_{n+1} = 0,9V_n + 0,2R_n+ 0,1V_n + 0,8R_n\\S_{n+1}= V_n+R_n \\\boxed{S_{n+1}=S_n}[/tex]

La suite (Sn) est donc constante et puisque [tex]S_0=V_0+R_0=20+40=60[/tex], nous en déduisons que   [tex]S_n=60[/tex].

c) Nous savons que : 

[tex]V_n+R_n=60\Longrightarrow \left\{\begin{matrix}V_n=60-R_n\\R_n=60-V_n\end{matrix}\right.[/tex]

Par conséquent, 

[tex]\left\{\begin{matrix}V_{n+1} = 0,9V_n+ 0,2R_n\\ R_{n+1} = 0,1V_n+0,8R_n\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}V_{n+1} = 0,9V_n+ 0,2(60-V_n)\\ R_{n+1} = 0,1(60-R_n)+0,8R_n\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}V_{n+1} = 0,9V_n+ 12-0,2V_n\\ R_{n+1} = 6-0,1R_n+0,8R_n\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\boxed{\left\{\begin{matrix}V_{n+1} = 0,7V_n+ 12\\ R_{n+1} = 0,7R_n+6\end{matrix}\right.}[/tex]

4) 
[tex]W_{n+1} = V_{n+1}-40\\ W_{n+1}= 0,7V_n + 12-40\\W_{n+1}= 0,7V_n-28\\ W_{n+1}= 0,7(W_n + 40)-28\\W_{n+1} = 0,7W_n + 28 - 28 \\\boxed{W_{n+1}= 0,7W_n}[/tex]

Donc (Wn) est une suite géométrique de raison 0,7 et dont le premier terme est
[tex]W_0=V_0-40=20-40\\\\W_0=-20[/tex]

Par conséquent, 
[tex]\boxed{W_n=-20\times0,7^n}[/tex]

5) Pour tout n,
[tex] V_n = W_n+ 40 = -20\times 0,7^n+40\\\\\boxed{V_n=40-20\times 0,7^n}\\\\R_n=60-V_n\\R_n=60-(40-20\times 0,7^n)\\R_n=60-40+20\times 0,7^n\\\\\boxed{R_n=20+20\times 0,7^n}[/tex]

6) 
[tex]V_{n+1} - V_n = 40- 20\times 0,7^{n+1}-40 + 20\times0,7^n \\V_{n+1} - V_n = - 20\times 0,7^{n+1} + 20\times0,7^n \\V_{n+1} - V_n = - 20\times 0,7^{n}\times0,7 + 20\times0,7^n \\V_{n+1} - V_n = 20\times 0,7^{n}(-0,7 +1)\\V_{n+1} - V_n = 20\times 0,7^{n}\times0,3\\V_{n+1} - V_n = 6\times 0,7^{n}\\V_{n+1} - V_n\ \textgreater \ 0\\\\\boxed{V_{n+1}\ \textgreater \ V_n}[/tex]

Donc la suite (Vn) est croissante.
La population de la ville augmente.

[tex]R_{n+1} - R_n = 20+ 20\times 0,7^{n+1}-20 - 20\times0,7^n \\R_{n+1} - R_n= 20\times 0,7^{n+1} - 20\times0,7^n \\R_{n+1} - R_n= 20\times 0,7^{n}\times0,7 - 20\times0,7^n \\R_{n+1} - R_n = 20\times 0,7^{n}(0,7 -1)\\R_{n+1} - R_n= 20\times 0,7^{n}\times(-0,3)\\R_{n+1} - R_n = -6\times 0,7^{n}\\R_{n+1} - R_n\ \textless \ 0\\\\\boxed{R_{n+1}\ \textless \ R_n}[/tex]

Donc la suite (Rn) est décroissante.
La population rurale diminue.

7) Pour tout n,
[tex]20\times 0,7^n\ \textgreater \ 0\\-20\times 0,7^n\ \textless \ 0\\40-20\times 0,7^n\ \textless \ 40\\\\Or\ V_n=40-20\times 0,7^n\\\\Donc\ \ \boxed{V_n\ \textless \ 40}[/tex]

8) a) Il faut que :
[tex]39,999\le V_n\\39,999\le 40-0,20\times0,7^n\\-0,001\le -0,20\times0,7^n\\0,20\times0,7^n\le0,001\\\\0,7^n\le\dfrac{0,001}{0,20}\\\\0,7^n\le0,005[/tex]

Or,

[tex]0,7^{14}\approx0,00678...\ \textgreater \ 0,005\\ 0,7^{15}\approx0,004747...\ \textless \ 0,005[/tex]

Donc, après 15 ans, nous avons   [tex]]39,999\le V_n\le40[/tex]

b) On peut conjecturer que la population citadine se stabilisera à 40 millions d'habitants.

9) De même, n peut conjecturer que la population rurale se stabilisera à 20 millions d'habitants.