Bonjour , je suis élève de terminale S et j'ai un exercice sur les suites . Je dois démontrer par récurrence que pour tout n n< ou = à (3/2)^n . J'ai donc réali
Mathématiques
Kovan336
Question
Bonjour , je suis élève de terminale S et j'ai un exercice sur les suites . Je dois démontrer par récurrence que pour tout n n< ou = à (3/2)^n .
J'ai donc réalisé l'initialisation :
Pour n =1
(3/2)^1 = 1,5
Donc n< ou égale a (3/2)^n
Hérédité soit n un entier naturel tel que n < ou = a (3/2)^n
J'ai donc écris n+1 < (3/2)^n+1
N< (3/2)^n
Mais cela me parrait court pour une démonstration . Merci d'avance pour votre aide
J'ai donc réalisé l'initialisation :
Pour n =1
(3/2)^1 = 1,5
Donc n< ou égale a (3/2)^n
Hérédité soit n un entier naturel tel que n < ou = a (3/2)^n
J'ai donc écris n+1 < (3/2)^n+1
N< (3/2)^n
Mais cela me parrait court pour une démonstration . Merci d'avance pour votre aide
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Propriété : P(n) : "Pour tout entier n≥0 : n≤(3/2)^n"
Initialisation :
n=0 donne 0≤1 donc P(0) est vraie
n=1 donne 1≤3/2 donc P(1) est vraie
Hérédité :
on suppose qu'il existe un rang n≥2 tel que P(n) est vraie
donc n≤(3/2)^n
donc (3/2)*n≤(3/2)^n*(3/2)
donc 3n/2≤(3/2)^(n+1)
donc n/2+n≤(3/2)^(n+1)
donc 1+n≤n/2+n≤(3/2)^(n+1) [pour n≥2 on a 1≤n/2]
donc n+1≤(3/2)^(n+1)
donc P(n+1) est encore vraie
Conclusion : pour tout entier n∈IN : n≤(3/2^n