Mathématiques

Question

bonjour
je suis bloquée.
le but de l'exercice est de démontrer que l'équation E: e^x=1/x admet une unique solution dans l'ensemble R des nombres réels et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.
Partie A.
f (x)= x-e^-x
1) démontrer que x est solution de l'équation E si et seulement si f (x)=0
ça j'ai réussi. c'est la 2 a) que j'arrive pas :
2a) étudier le sens de variation de f sur R.
Alors j'ai fait la dérivée : f'(x)=1-e^-x.
f'(x) est négative sur ]-l'infini; 0] et positive sur [0;+l'infini[
en faisant le tableau, je trouve donc que f est décroissante sur ]-l'infini; 0[ et croissante sur ] 0;+l'infini[. Mais en traçant à la calculatrice ça ne correspond pas, donc c'est faux ?

0 Commentaire.

2 Réponse

  • f'(x)=1+e^(-x)

    attention : e^(u) = u' e^u    et oui c'est le piège !!!

    f'(x)>0 donc f est strictement croissante

  • E: e^x=1/x ; f (x)= x-e^-x
    Partie A.
    1) démontrer que x est solution de l'équation E si et seulement si f (x)=0
    x est solution de E donc e^x=1/x
    donc xe^x=1
    donc x=e^(-x)
    donc x-e^(-x)=0
    donc f(x)=0

    2a) étudier le sens de variation de f sur R.
    f(x)=x-e^(-x)
    f'(x)=1+e^(-x)>0
    donc f est strict croissante sur IR

    Partie B
    on pose la suite définie par :
    u(0)=1 et u(n+1)=e^(-u(n))
    alors la suite (u) converge vers α tel que f(α)=0

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