Soient a, b et c trois réels distincts. Soit f(x)=(((x-a)(x-b))/((c-a)(c-b)))+(((x-b)(x-c))/((a-b)(a-c)))+(((x-a)(x-c))/((b-a)(b-c)))=1 (faut avouer que sans le

1/ On pose [tex]f[/tex] la fonction en question. On a :

[tex]f(a)= \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}+ \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+ \frac{(a-a)(a-c)}{(b-a)(b-c)}[/tex]

[tex]f(a)=0+1+0=1[/tex] car le premier et le dernier rapport s'annulent au numérateur et le second présente deux quantités égales au numérateur comme au dénominateur.

Calculer [tex]f(b)[/tex] et [tex]f(c)[/tex] n'est pas plus difficile puisqu'il faut voir que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] jouent des rôles symétriques et qu'à chaque fois, deux rapports sont annulés et un seul vaut 1.

2/ Le calcul est un peu plus long mais se fait bien :

[tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+ \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}=1[/tex]

[tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}+ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}- \frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}=1[/tex]

[tex]\frac{(a-b)(x-a)(x-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}+ \frac{(b-c)(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}- \frac{(a-c)(x-a)(x-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1[/tex]

[tex](a-b)(x-a)(x-b)+(b-c)(x-b)(x-c)-(a-c)(x-a)(x-c)[/tex]=[tex](a-b)(a-c)(b-c)[/tex]

[tex](a-b)(x-a)(x-b)+(b-c)(x-b)(x-c)-(a-c)(x-a)(x-c)[/tex]-[tex](a-b)(a-c)(b-c)=0[/tex]

La fin se fait en trouvant le degré du polynôme final. Il va te donner le nombre de solutions sur l'ensemble des complexes.