Bonjour, J'ai un DM de maths qui me pose des problèmes. Voici l'énoncé de l'exercice : On considère la suite (vn[sub]) définie sur N par V[sub]0 = 2 et vn+1 = 1

Bonsoir Obadele937

b) Pour tout entier naturel n : 8-vn+1<0,9*(8-vn)

On sait que [tex]v_{n+1}=f(v_n)[/tex]
De plus 
[tex]f(x) - 8 = -0,05(x-20)(x-8)\\\\\Longrightarrow f(v_n) - 8 = -0,05(v_n-20)(v_n-8)\\\\\Longrightarrow 8-f(v_n) = 0,05(v_n-20)(v_n-8)\\\\\Longrightarrow 8-f(v_n) = 0,05(20-v_n)(8-v_n) [/tex]

Or
[tex]v_n\ge2 \Longrightarrow -v_n\le-2\\\\\Longrightarrow 20-v_n\le20-2\\\\\Longrightarrow 20-v_n\le18 [/tex]

Par conséquent,

[tex]8-v_{n+1}=0,05(20-v_n)(8-v_n)\\\\8-v_{n+1}\le0,05\times 18\times(8-v_n)\\\\\boxed{8-v_{n+1}\le0,9\times(8-v_n)}[/tex]

c) En déduire que, pour tout entier naturel n : 8-vn < 6*0,9n

[tex]8-v_{n}\le0,9\times\boxed{(8-v_{n-1})}\\\\8-v_{n}\le0,9\times\boxed{0,9\times(8-v_{n-2})}\\\\8-v_{n}\le0,9^2\times(8-v_{n-2})[/tex]

En continuant le même processus, 

[tex]8-v_{n}\le0,9^2\times\boxed{(8-v_{n-2})}\\\\8-v_{n}\le0,9^2\times\boxed{0,9\times(8-v_{n-3})}\\\\8-v_{n}\le0,9^3\times(8-v_{n-3})[/tex]

A l'étape p, nous avons : 

[tex]8-v_{n}\le0,9^p\times(8-v_{n-p})[/tex]

A l'étape n, nous aurons :

[tex]8-v_{n}\le0,9^n\times(8-v_{n-n})\\\\8-v_{n}\le0,9^n\times(8-v_{0})\\\\8-v_{n}\le0,9^n\times(8-2)\\\\8-v_{n}\le0,9^n\times6\\\\\boxed{8-v_{n}\le6\times 0,9^n}}[/tex]