Bonjour à toutes et à tous Je bloque actuellement sur la première question de mon dm de maths: On donne les fonctions: f(x)=3ax²-(a-6)x-1 g(x)=4x²+4x+3 1)Existe

1) valeurs de a pour lesquelles f(x) n'a pas de racine :

f(x) = 3ax^2 - (a - 6)x - 1

On calcule le discriminant :

Delta = (a - 6)^2 - 4 * 3a * (-1)
Delta = a^2 - 12a + 36 + 12a
delta = a^2 + 36

Il n'existe pas de valeur de a pour lesquelles f(x) n'a pas de racine puisque :

Quelque soit a (négatif, nul ou positif), il existera toujours une valeur pour le discriminant donc il y aura toujours une solution.

Si a < 0, delta = a^2 + 36 > 0 donc 2 solutions possibles

Si a = 0, delta = 36 > 0 donc 2 solutions possibles

Si a > 0, delta = a^2 + 36 > 0 donc 2 solutions possibles

Il n'existe donc pas de valeur de a pour lesquelles f(x) n'a pas de racine.

2) coordonnées de ces points :

f(x) = g(x) pour a = 3
f(x) = 9x^2 + 3x - 1
g(x) = 4x^2 + 4x + 3

Donc :

9x^2 + 3x - 1 = 4x^2 + 4x + 3
9x^2 - 4x^2 + 3x - 4x - 1 - 3 = 0
5x^2 - x - 4 = 0

On calcule le discriminant :
Delta = 1^2 - 4 * 5 * (-4)
Delta = 1 + 80
Delta = 81 > 0 donc deux solutions possibles

V(delta) = 9

X1 = (1 - Vdelta) / (2 * 5) = (1 - 9) / 10 = (-8/10) = (-4/5)

X2 = (1 + Vdelta) / 10 = (1 + 9) / 10 = 10/10 = 1

Donc les courbes Cf et Cg ont bien deux points d'intersection :

X1 = (-4/5) donc Y1 = 4 * (-4/5)^2 + 4 * (-4/5) + 3
Y1 = 4 * 16/25 - 16/5 + 3
Y1 = 64/25 - 80/25 + 75/25
Y1 = 59/25

Les coordonnées du premier point sont :
(-5/2 ; 59/25)

X2 = 1 donc Y2 = 4 * (1)^2 + 4 * 1 + 3
Y2 = 4 + 4 + 3
Y2 = 11

Les coordonnés du deuxième point sont :
(1 ; 11)

3) valeurs de x pour lesquelles Cf au dessus de Cg :

9x^2 + 3x - 1 > 4x^2 + 4x + 3
5x^2 - x - 4 > 0

X........|...... -inf........... -5/2.......... 1.................+inf
Equa..|.................+........O.... - .....O....... +............

Les valeurs pour lesquelles Cf est au dessus de Cg sont :
]-inf;-5/2[ U ]1;+inf[