bonjour je suis bloquée sur une démonstration et merci de pouvoir m'aider u0=5   un+1= 1/2 (un+(3/un)) il nous demande une démonstration par récurrence un3 j'ai

u(0)=5 u(n+1)= 1/2 (u(n)+3/u(n))
conjectures :
* (u) est décroissante
* (u) est minorée par √3
* (u) est majorée par 5
* (u) est convergente vers √3

preuves :
montrons par récurrence que : u(n)>√3
(I) : u(0)=5 donc u(0)>√3
(H) : supposons que u(n)>√3
u(n+1)=1/2(u(n)+3/u(n))
         =1/2(u(n)²+3)/u(n)
soit f(x)=1/2(x²+3)/x=(x²+3)/(2x)
f'(x)=(2x.2x-2x²-6)/(4x²)=(2x²-6)/(4x²)
f admet alors un minimum en x=√3
donc u(n)>√3 implique : u(n+1)=f(u(n))>√3
donc pour tout entier n : u(n)>√3

u(n+1)-u(n)=1/2(u(n)+3/u(n))-u(n)
               =1/2(3/u(n)-u(n))
               =1/2(3-u(n)²)/u(n)
or u(n)>√3 donc u(n)²>3 donc 3-u(n)²<0
donc u(n+1)-u(n)<0
donc la suite (u) est décroissante

alors (u) est décroissante et minorée par √3
donc (u) est convergente vers L
d'après le th du point fixe l vérifie : f(L)=L
donc L=1/2(L+3/L)
donc 2L²=L²+3
donc L²=3
donc L=lim(u(n))=√3