Bonjour à tous je suis nouveaux sur ce site et j'ai un petit problème avec mon DM de math qui porte sur les factoriel or je n'ai jamais fait et je suis vraiment
Mathématiques
Amani700
Question
Bonjour à tous je suis nouveaux sur ce site et j'ai un petit problème avec mon DM de math qui porte sur les factoriel or je n'ai jamais fait et je suis vraiment perdu!
Voici le sujet: On considère la suite(un) définie par forall n
otin mathbb{N}* Un= 1+1/1!+1/2!+...+1/n!
Ou n!=1*2*...*n
Montrer que la suite (Un) est majorée et converge.
je suppose qu'il faut utiliser le théorème de majoration
Merci d'avance pour votre aide!
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
n!=n(n-1)...2*1
donc pour tout entier n : n! ≥ 2^(n-1)
(chaque valeur de n! est minorée par 2)
donc 1/n! ≤ 1/(2^(n-1))
donc S(n)=1+1/2+1/6+...1+1/n! ≤ 1+somme(1/(2^(k-1))
donc S(n) ≤ 1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
donc S(n) ≤ 1+2*(1-1/2^n)
donc S(n) < 1+2*(1-0)
donc S(n) < 3
donc (S(n)) est majorée par 3
de plus (S(n)) est clairement croissante
donc la suite (S(n)) converge vers L
or e^x=1+x/2+x²/6+...+x^n/n!+o(x^n)
donc si n tend vers +∞et si x=1 on obtient :
lim(S(n))=e^1=e