Soit n = 9 + 99 + 999 + …. + 99…9, où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans n ?

n=9+99+999+...+9999999999
or 999999999 composé de p chiffres 9 vaut
10^(p-1)+10^(p-2)+...+1=10^p-1
donc
n=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+.....+(10^999-1)
n=(10+10^2+10^3+...+10^999)-(999*1)
n=10*(10^999-1)/(10-1)-999
n=1/9*(10^1000-10)-999
n=1/9*(10^1000-10)-(10^3-1)
donc n est composé de 1000 chiffres dont 1 seul 0
donc n est composé de 999 chiffres 1