Soit [tex]f:\left[0 ; 1\right] \rightarrow \mathbb R[/tex] une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0,1]. On suppose que f(0) = f(1) = 0 et
Mathématiques
seb088
Question
Soit [tex]f:\left[0 ; 1\right] \rightarrow \mathbb R[/tex] une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle [0,1].
On suppose que f(0) = f(1) = 0 et que pour tout x réel de l'intervalle [tex]\left[0,\frac {7}{10}\right][/tex] :
[tex]f\left(x+\frac{3}{10}\right) \neq f(x)[/tex]
Il faut démontrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1].
Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre, est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
On suppose que f(0) = f(1) = 0 et que pour tout x réel de l'intervalle [tex]\left[0,\frac {7}{10}\right][/tex] :
[tex]f\left(x+\frac{3}{10}\right) \neq f(x)[/tex]
Il faut démontrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1].
Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre, est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
1 Réponse
-
1. Réponse Anonyme
il suffit d'appliquer le th des valeurs intermédiaires sur chacun des intervalles [0;1/10], [1/10;2/10], ... [6/10;7/10]
on raisonne par l'absurde : supposons que f ne s'annule jamais sur chacun des intervalles cités
* f est continue et dérivable
* f(1/10)=k>0 et f(2/10)=k'>0
or f(0)≠f(3/10) donc f(3/10)≠0
donc f(3/10)<0 sinon il serait impossible d'avoir f(1)=0 !...
ainsi il existe une contradiction
donc l'hypothèse initiale est fausse
donc f s'annule au moins une fois sur chaque intervalle
donc f s'annule au moins 7 fois sur [0;1]