lorsque paul se rend à bicyclette de sa ville A à une ville voisine B distante d'une distance d, il roule a la vitesse moyenne de 20km/h et effectue le retour a

Bonjour Fethee340

1) conjecturer les reponses aux questions suivantes:
a) si paul efectue le retour à la vitesse de 30km/h, quelle est sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour?
b) peut -on determiner x pour que la vitesse moyenne de paul sur le trajet aller-retour soit de 40km/h.

Dans les deux cas, nous pourrions penser (probablement à tort) que la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est la moyenne arithmétique entre la vitesse aller et la vitesse retour.
Ainsi nous aurions : 
1 a) La vitesse moyenne sur le trajet aller-retour serait égale à (20 + 30)/2 = 25 km/h.
b) (20 + x)/2 = 40
20 + x = 80
x = 60
La vitesse pour le retour serait égale à 60 km/h (qui est une très grande vitesse pour un cycliste !)

2) a) calculer le temps t1 mis par paul pour effectué le trajet de A vers B, puis le temps t2 mis pour effectuer le retour de B vers A à la vitesse de xkm/h.

Nous utiliserons la formule : v = d/t où v est la vitesse en km/h, d est la distance parcourue en km et t la durée du trajet en heures.

[tex]20=\dfrac{d}{t_1}\Longrightarrow \boxed{t_1=\dfrac{d}{20}}\\\\x=\dfrac{d}{t_2}\Longrightarrow \boxed{t_2=\dfrac{d}{x}}[/tex]

b) En deduire la vitesse moyenne f(x) de paul sur le trajet aller et retour en fonction de sa vitesse moyenne x sur le trajet de retour.

La longueur du trajet aller-retour est égale à 2d.
La durée de ce trajet est égale à  [tex]t_1+t_2[/tex]

D'où

[tex]f(x)=\dfrac{2d}{t_1+t_2}\\\\\\f(x)=\dfrac{2d}{\dfrac{d}{20}+\dfrac{d}{x}}\\\\\\f(x)=\dfrac{2d}{d(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x})}\\\\\\f(x)=\dfrac{2}{\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}}[/tex]

[tex]f(x)=\dfrac{2}{\dfrac{x+20}{20x}}\\\\\\f(x)=2\times\dfrac{20x}{x+20}\\\\\\\boxed{f(x)=\dfrac{40x}{x+20}}[/tex]

c)les conjectures emises dans la question 1 se confirment -elles?

Les conjectures émises en 1) ne se confirment pas.