J'aimerais savoir s'il est possible de calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque en connaissant uniquement les longueurs de 3 cotés consécutifs et les 2 angl

Bonjour Danladi296

Oui, c'est possible en décomposant le quadrilatère en deux triangles.

Soit le quadrilatère ABCD dont les longueurs AB, BC et CD sont connues ainsi que les angles ABC et BCD.

Déterminons l'aire du triangle ABC.

[tex]Aire_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times AB\times BC\times\sin(\widehat{ABC})[/tex]

Déterminons l'aire du triangle ACD.

Calcul de AC :

[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})\\\\AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}[/tex]

Calcul de la mesure de l'angle ACD.

Dans le triangle ABC, nous pouvons trouver l'angle BCA par la relation aux sinus.

[tex]\dfrac{AB}{\sin(\widehat{BCA})}=\dfrac{AC}{\sin(\widehat{ABC})}\\\\\\\sin(\widehat{BCA})=\dfrac{\sin(\widehat{ABC})}{AC}\times AB[/tex]

On en déduit l'angle BCA.

D'où nous obtenons la mesure de l'angle ACD par le calcul : 
[tex]\widehat{ACD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCA}[/tex]

Calcul de l'aire du triangle ACD :

[tex]Aire_{ACD}=\dfrac{1}{2}\times AC\times CD\times\sin(\widehat{ACD})[/tex]

Par conséquent en tenant compte des calculs précédents,

[tex]\boxed{Aire_{ABCD}=Aire_{ABC}+Aire_{ACD}}[/tex]