Bonjour à tous, Voila afin de preparer le passage en TS mon prof de maths nous a donné un long DM à faire pendant les vacances qui regroupe toutes les notions d
Mathématiques
Elewa306
Question
Bonjour à tous, Voila afin de preparer le passage en TS mon prof de maths nous a donné un long DM à faire pendant les vacances qui regroupe toutes les notions de 1S. J'aimerai si vous pouviez me corriger sur cet exercice surtout au niveau de la redaction nottamment pour la reccurence.
Voila L'exo:
On considere la suite (Un) définie par:
{Uo=1
{Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite (Un)
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel, Un > n²
b.Quelle est la limite de la suite (Un)?
3. Conjecturer une expresion de Un en fonction de n,puis demontrer la propriété ainsi conjecturée
Ce que j'ai fait:
1. Pour tout entier naturel on a:
Un+1-Un= 2n+3 et 2n+3 > 0 car n est un entier naturel. Donc la suite (Un) est strictement croissante.
2. Uo=1 > 0² La propriété est vrai au rang 0.
Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n²
Demontrons alors par reccurence que pour tout entier naturel Un > n²
Pour tout entier naturel on a :
Un+1= Un+2n+3 et (n+1)²=n²+2n+1
Pour demontrer l'inégalité etudions le signe da la difference:
Un+1-(n+1)²=Un +2n+3-n²-2n-1
= Un -n² +1
Or on a supposer que Un > n² donc finalement on a
Un+1 > n² et pour tout n de N Un > n²
La propriéte est hereditaire(bof bof c'est un peu systeme D lol )
b.
On a établit plus haut que Un > n² :
lim n²=+inf
-->+inf
D'apres le theoreme de comparaison sur les limites on a finalement lim Un=+inf
n-->+inf
c. On conjecture que Un=(n+1)² car Uo=1 et lim (n+1)²=+inf. De plus pour tout entier naturel on a :
Un+1=(n+2)²=n²+4n+4=n²+2n+2n+1 +3=(n+1)²+2n+3=Un+2n+3.
Voila merci de me corriger surtout pour la reccurence je pense lol c'est du tarabiscotage lol.
Voila L'exo:
On considere la suite (Un) définie par:
{Uo=1
{Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite (Un)
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel, Un > n²
b.Quelle est la limite de la suite (Un)?
3. Conjecturer une expresion de Un en fonction de n,puis demontrer la propriété ainsi conjecturée
Ce que j'ai fait:
1. Pour tout entier naturel on a:
Un+1-Un= 2n+3 et 2n+3 > 0 car n est un entier naturel. Donc la suite (Un) est strictement croissante.
2. Uo=1 > 0² La propriété est vrai au rang 0.
Supposons que pour un entier naturel quelconque fixé on ait Un > n²
Demontrons alors par reccurence que pour tout entier naturel Un > n²
Pour tout entier naturel on a :
Un+1= Un+2n+3 et (n+1)²=n²+2n+1
Pour demontrer l'inégalité etudions le signe da la difference:
Un+1-(n+1)²=Un +2n+3-n²-2n-1
= Un -n² +1
Or on a supposer que Un > n² donc finalement on a
Un+1 > n² et pour tout n de N Un > n²
La propriéte est hereditaire(bof bof c'est un peu systeme D lol )
b.
On a établit plus haut que Un > n² :
lim n²=+inf
-->+inf
D'apres le theoreme de comparaison sur les limites on a finalement lim Un=+inf
n-->+inf
c. On conjecture que Un=(n+1)² car Uo=1 et lim (n+1)²=+inf. De plus pour tout entier naturel on a :
Un+1=(n+2)²=n²+4n+4=n²+2n+2n+1 +3=(n+1)²+2n+3=Un+2n+3.
Voila merci de me corriger surtout pour la reccurence je pense lol c'est du tarabiscotage lol.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
On considere la suite (Un) définie par:
{Uo=1
{Un+1=Un+2n+3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite (Un)
U(n+1)-U(n)=2n+3>0
donc (U) est croissante
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel, Un > n²
on montre par récurrence :
(I) : U(0)=1>0²
(H) : U(n)>n² donc U(n+1)=U(n)+2n+3>n²+2n+3
donc U(n+1)>(n+1)²+2>(n+1)²
(C) : pour tout entier n : U(n)>n²
b.Quelle est la limite de la suite (Un)?
lim(n²)=+∞ donc par comparaison : lim(U(n))=+∞
3. Conjecturer une expresion de Un en fonction de n,puis demontrer la propriété ainsi conjecturée
U(0)=1 ; U(1)=4 ; U(2)=9
montrons alors que : U(n)=(n+1)² par récurrence
(I) : U(0)=1=(0+1)²
(H) : supposons que U(n)=n²
donc U(n+1)=U(n)+2n+3=(n+1)²+2n+3
donc U(n+1)=n²+2n+1+2n+3=n²+4n+4=(n+2)²
donc U(n+1)=[(n+1)+1)²
(C) : pour tout entier n : U(n)=(n+1)²