URGENT ! BESOIN D'AIDE SVP ! 4.1)Calculer le rayon du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC afin qu’il ait même aire qu’un hexagone régulier ins

Bonjour KevinKde

4.1) Soit a la longueur d'un côté du triangle équilatéral ABC.
Alors l'aire de ce triangle équilatéral est donnée par le quotient [tex]\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]

Le rayon du cercle circonscrit à ce triangle ABC est donné par le quotient [tex]\dfrac{a\sqrt{3}}{3}[/tex]

L'aire d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est donné par l'expression  [tex]\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2[/tex]
Puisque le rayon du cercle circonscrit à l'hexagone mesure 1 cm, 
l'aire de cet hexagone est égale à  [tex]\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times 1^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ cm[/tex]

L'énoncé signale que l'aire du triangle est égale à l'aire de l'hexagone.

[tex]\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\\\\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3}{2}\\\\a^2=4\times\dfrac{3}{2}\\\\a^2=6\\\\a=\sqrt{6}[/tex]

Calculons alors le rayon du cercle circonscrit à ce triangle ABC.
[tex]\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{18}}{3}=\dfrac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}[/tex]

Par conséquent,
le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC mesure  [tex]\sqrt{2}\ cm.[/tex]

4.2) Le périmètre tu triangle = [tex]3\sqrt{6}\ cm[/tex]
Le périmètre de l'hexagone = 6 x 1 cm = 6 cm  (car le côté de l'hexagone a la même longueur que le rayon du cercle circonscrit)

On sait que : 54 > 36
[tex]\sqrt{54}\ \textgreater \ \sqrt{36}\\\\\sqrt{9\times6}\ \textgreater \ \sqrt{6}\\\\\boxed{3\sqrt{6}\ \textgreater \ \sqrt{6}}[/tex]

Par conséquent,
le périmètre du triangle est supérieur au périmètre de l'hexagone.