Comment définit-on une suite arithmético-géométrique ?

Une suite arithmético-géométrique à valeurs dans un corps commutatif K (donc dans R et dans C) est définie par récurrence par un premier terme et une formule de récurrence du type : ∀ n ≥ 0, un+1 = a un + b, où a et b sont éléments de K.
Si a=1, on retrouve une suite arithmétique . Sinon, en posant r = b/(1-a), le terme général s'écrit : u(n) = a(n) (u0-r) + r .

La suite de terme général un - r est géométrique , ce qui permet de calculer la somme des termes. La somme des n premiers termes est : (u0 - r) (1 - an) / (1 - a) + nr.
Cette suite géométrique permet aussi d'étudier la convergence de la suite un.

Si |a|<1, la suite converge vers r. Il est intéressant de remarquer que le premier terme n’intervient pas dans cette limite.
Si a>1, la suite diverge vers +∞ ou vers –∞ suivant la valeur du premier terme.
Si a ≤ -1, la suite diverge, les termes de plus en plus « grands » en valeur absolue sont alternativement positifs et négatifs, la suite admet +∞ et –∞ comme valeurs d’adhérence .
Une représentation graphique d’une telle suite illustre clairement ces propriétés.