Bonjour à tous, je suis elève de terminale S, et ayant vue la fonction expo en début d'année, je me suis demandé comment ils l'avaient trouvé. Car ses caractéri
Mathématiques
Yahcay624
Question
Bonjour à tous, je suis elève de terminale S, et ayant vue la fonction expo en début d'année, je me suis demandé comment ils l'avaient trouvé.
Car ses caractéristiques étant y'=y et y(0)=1, je me suis demandé quelle est sa démonstration.
Car dans le cours finalement on voit son unicité, mais ça nous dit pas comment Euler l'a trouvé.
En même temps je cherchais un peu les propriétés de la fonction x^x, et sa dérivation... Que j'arrive pas à faire !
Donc si vous pouviez déjà m'aider sur ce point...
Enfin avec ma calculatrice, je me suis rendu compte que si on donnait à l'exposé un valeur fixe inférieure à e, sa dérivé lui était inférieure (ex : y(x) = 2^x, y(5) = 2^5 = 32, et y'(x) = ~22 )
Par contre avec un nb supérieur à e, sa dérivé est supérieure (ex : y(x) = 4^x, y(5) = 256, y'(x) = ~355)
Et de là une autre question : comme Euler est il parvenu à trouver le chiffre e ? Par de très nb calcul afin d'avoir sa valeur approximative, puis en démontrant son unicité ? Ou y'a t-il une démonstration directe ?
Merci bcp
Car ses caractéristiques étant y'=y et y(0)=1, je me suis demandé quelle est sa démonstration.
Car dans le cours finalement on voit son unicité, mais ça nous dit pas comment Euler l'a trouvé.
En même temps je cherchais un peu les propriétés de la fonction x^x, et sa dérivation... Que j'arrive pas à faire !
Donc si vous pouviez déjà m'aider sur ce point...
Enfin avec ma calculatrice, je me suis rendu compte que si on donnait à l'exposé un valeur fixe inférieure à e, sa dérivé lui était inférieure (ex : y(x) = 2^x, y(5) = 2^5 = 32, et y'(x) = ~22 )
Par contre avec un nb supérieur à e, sa dérivé est supérieure (ex : y(x) = 4^x, y(5) = 256, y'(x) = ~355)
Et de là une autre question : comme Euler est il parvenu à trouver le chiffre e ? Par de très nb calcul afin d'avoir sa valeur approximative, puis en démontrant son unicité ? Ou y'a t-il une démonstration directe ?
Merci bcp
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Si f est une fonction dérivable, de dérivée connue f' , on peut, connaissant une image f(xo), calculer une approximation de f(xo + h) si x est suffisamment petit en utilisant la formule approchée de la dérivée :
f'(x) ≈ (f(x+h)-f(x))/h
On aura : f(xo + h) ≈ f(xo) + hf'(xo). Posons yo = f(xo) et y1 = f(xo + h).
On peut itérer le procédé afin de calculer une approximation de f(xo + 2h) = y2.
En posant xn = xo + nh, on construit ainsi une suite de valeurs approchées d'images f(xn) : f(xn) ≈ f(xn-1) + hf'(xn-1)
un graphique expliquant la démarche "pas à pas" est donné en annexe