Bonjour à tous. Je dois calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(3;-4) sur la droite d'équation 2x + 3y - 1 = 0. Comment dois-je m'y prendre ?

Bonjour  Ilom736

Soit la droite (D) :  2x + 3y - 1 = 0.
Alors un vecteur directeur de la droite (D) est [tex]\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 2)[/tex]

Soit [tex]H(x_H\ ;y_H)[/tex] le projeté orthogonal du point A sur la droite (D)

D'une part, nous allons utiliser le fait que [tex]\overrightarrow{HA}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{u}[/tex]  sont orthogonaux.

Si  [tex]\overrightarrow{HA}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{u}[/tex]  sont orthogonaux, alors le produit scalaire  [tex]\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{u}=0[/tex]

Or  
[tex]\overrightarrow{HA}(x_A-x_H\ ;y_A-y_H)\\\\\overrightarrow{HA}(3-x_H\ ;-4-y_H)[/tex]

Donc 
[tex]\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{u}=0\Longleftrightarrow (3-x_H)\times(-3)+(-4-y_H)\times2=0\\\\\Longleftrightarrow -9+3x_H-8-2y_H=0\\\\\Longleftrightarrow \boxed{3x_H-2y_H-17=0}[/tex]

D'autre part, nous allons utiliser le fait que le point H appartient à la droite (D).

Dans l'équation de (D), remplaçons x par [tex]x_H[/tex] et y par [tex]y_H[/tex]

[tex]\boxed{ 2x_H+3y_H-1=0}[/tex]

Résolvons alors le système : 

[tex]\left\{\begin{matrix}3x_H-2y_H-17=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\times2)\\2x_H+3y_H-1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\times3)\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}6x_H-4y_H-34=0\\6x_H+9y_H-3=0 \end{matrix}\right.\\\\(6x_H-4y_H-34)-(6x_H+9y_H-3)=0\\\\6x_H-4y_H-34-6x_H-9y_H+3=0\\\\-13y_H-31=0\\\\13y_H=-31\\\\y_H=\dfrac{-31}{13}[/tex]

Dans l'équation [tex]2x_H+3y_H-1=0[/tex], remplaçons yH par -31/13.

[tex]2x_H+3\times (\dfrac{-31}{13})-1=0\\\\2x_H-\dfrac{93}{13}-\dfrac{13}{13}=0\\\\2x_H-\dfrac{106}{13}=0\\\\2x_H=\dfrac{106}{13}\\\\x_H=\dfrac{53}{13}[/tex]

Par conséquent,
les coordonnées du projeté orthogonal du point A(3;-4) sur la droite d'équation 2x + 3y - 1 = 0 sont  [tex]\boxed{(x_H\ ;\ y_H)=(\dfrac{53}{13}\ ;\ \dfrac{-31}{13})}[/tex]