salut je suis tombé sur un exo ds mes annales où l'on me demande la dérivée n-ième de 1/x. Jusque là pas de soucis. Mais en regardant la correction (apres avoir

Bonsoir,

En premier lieu, on peut commencer par trouver une notation plus commode pour la fonction inverse, on pose ainsi :
[tex]f:\begin{array}{ccc}\mathbb R*& \rightarrow &\mathbb R\\ x&\mapsto &\frac 1x\end{array}[/tex]

Nous admettrons que cette fonction est dérivable à l'infini en tout point de son ensemble de définition.

D'après le cours on a pour tout réel x,
[tex]f'(x) = -\frac{1}{x^2}[/tex]

On peut encore dériver cette fonction en utilisant la formule (1/g)' = -g'/g² :
[tex]f''(x) = -\left(-\frac{2x}{x^4}\right)\\ f''(x) = \frac{2}{x^3}[/tex]

Puis, encore une fois :
[tex]f^{(3)}(x) = 2\times \left(-\frac{3x^2}{x^6}\right)\\ f^{(3)}(x) = 2\times \left(-\frac{3x^2}{x^6}\right)\\ f^{(3)}(x) = -\frac{6}{x^4}[/tex]

Ce n'est toujours pas concluant. Une fois de plus !
[tex]f^{(4)}(x) = \frac{24}{x^5}[/tex]

On observe que la puissance au dénominateur est égale au rang de la dérivée plus un, que le signe est positif si le rang est pair et négatif si le rang est impair
et que le numérateur est égal à la factorielle du rang de la dérivée. Nous pouvons poser la proposition suivante que nous démontrerons par récurrence :
[tex]P(n) : \forall x\in \mathbb R*, f^{(n)}(x) = (-1)^n \times \frac{n!}{x^{n+1}},n\in \mathbb N[/tex]

Initialisation : prenons n = 0.
Pour n = 0, nous travaillons avec la fonction f elle-même. On a pour tout réel x : 
[tex](-1)^0\times \frac{0!}{x^1} = \frac 1x = f(x)[/tex]
P(0) est donc vraie.

Soit n un entier naturel, supposons P(n) vraie.
On a alors :
[tex]\forall x\in \mathbb R*, f^{(n)}(x) = (-1)^n \times \frac{n!}{x^{n+1}}[/tex]
Nous allons dériver cette fonction une fois de plus.
On applique encore la formule :
[tex] f^{(n+1)}(x) = (-1)^n \times n!\times\left(- \frac{(n+1)x^n}{(x^{n+1})^2}\right)\\ f^{(n+1)}(x) = (-1)^n \times n!\times\left(- \frac{(n+1)x^n}{x^{2n+2}}\right)\\ f^{(n+1)}(x) = (-1)^n\times \left(-1\right) \times n!\times \left(n+1\right) \times \frac{x^n}{x^{2n+2}}\\ f^{(n+1)}(x) = (-1)^{n+1} \times (n+1)!\times \frac{1}{x^{n+2}}[/tex]

On a donc pour tout entier naturel n :
[tex]P(n) \implies P(n+1)[/tex]

Ce qui termine la démonstration. Finalement pour tout entier naturel n :
[tex] f^{(n)}(x) = (-1)^n \times \frac{n!}{x^{n+1}}[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)