bonjour à tous, dans le but d'un devoir maison (je suis redoublant) il me faut étudier la continuité de la fonction f: ln(1+x) / x quand x>0 1 quand x=0. Il me

Bonjour Simba142

1) La continuité de f sur l'intervalle ]0 : +oo[ se démontre par les théorèmes de continuité.

La fonction [tex]x \mapsto x+1 [/tex] est continue sur R (fonction affine)
La fonction [tex]x \mapsto \ln(x)[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[ (fonction logarithme)

D'où la fonction [tex]x \mapsto \ln(x+1)[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[  comme composée des deux fonctions continues précédentes.

La fonction [tex]x \mapsto x[/tex] est continue sur R (fonction linéaire)

Donc la fonction [tex]x \mapsto \dfrac{\ln(1+x)}{x}[/tex] est continue sur ]0 ; +oo[ comme quotient de deux fonctions continues sur ]0 ; +oo[

2) Pour démontrer que f est continue en 0, il suffit de démontrer que  [tex] \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}= 1[/tex]

On sait que [tex]\ln(1)=0[/tex]

D'où  

[tex]\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x}\\\\\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{h \to 0^+} \dfrac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}\\\\\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=g'(1)\ \ o\grave{u}\ \ g(x)=\ln(x)[/tex]

Or  [tex] g(x)=\ln(x)\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g'(1)=\dfrac{1}{1}=1[/tex]

Donc [tex]\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1[/tex]

Par conséquent, f est continue sur [0 ; +oo[