bonjour; on ma demandé dans un problem de : En appliquant le théoréme des inégalité des accroissement finis à la fonction Log à lintervalle [1, 1+a], établir qu

Bonjour Hanif439 

Le théorème des inégalités des accroissements finis peut s'énoncer comme ceci : 

Si f est une application continue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et s’il existe deux réels m et M tels que m ≤ f '(x) ≤ M pour tout x ∈]a, b[,
alors nous avons la relation suivante : m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a) 

La fonction Log est continue sur l'intervalle [1 ; 1+a] et dérivable sur ]1 ; 1+a[.

Si x appartient à l'intervalle [1 ; 1+a], alors a > 0 et

[tex]1\ \textless \ x\ \textless \ 1+a\\\\\dfrac{1}{1+a}\ \textless \ \dfrac{1}{x}\ \textless \ \dfrac{1}{1}\\\\\dfrac{1}{1+a}\ \textless \ (Log(x))'\ \textless \ 1[/tex]

Selon le théorème, nous en déduisons que : 

[tex]\dfrac{1}{1+a}\times[(1+a)-1]\ \textless \ Log(1+a)-Log(1)\ \textless \ 1\times[(1+a)-1]\\\\\dfrac{1}{1+a}\times a\ \textless \ Log(1+a)-0\ \textless \ 1\times a\\\\\boxed{\dfrac{a}{1+a}\ \textless \ Log(1+a)\ \textless \ a}[/tex]