bonjour ~~ j'ai un petit probleme avec mon devoir de maths Voici l'exercice : z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4. a) Vérifier que si z diff

Bonjour Fariji760

a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z). 

1 + z + z² + z^3 + z^4 représente la somme de 5 termes d'une progression géométrique de raison z et dont le premier terme est 1.
Appliquons la formule permettant de calculer le résultat de cette somme : 
[tex]1 + z + z^2 + z^3 + z^4=1\times\dfrac{1-z^5}{1-z}\\\\1 + z + z^2 + z^3 + z^4=\dfrac{1-z^5}{1-z}\Longrightarrow \boxed{z'=\dfrac{1-z^5}{1-z}}[/tex]

b ) que vaut z' si z= e^i2pi/5 ?
En déduire la valeur de : 
S = 1+ cos (2pi/5) + cos (4pi/5) + cos (6pi/5) + cos(8pi/5)

D'une part,
[tex]z'=1 + z + z^2 + z^3 + z^4\\\\z'=1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+(e^{\frac{i2\pi}{5}})^2+(e^{\frac{i2\pi}{5}})^3+(e^{\frac{i2\pi}{5}})^4\\\\\boxed{z'=1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+e^{\frac{i4\pi}{5}}+e^{\frac{i6\pi}{5}}+e^{\frac{i8\pi}{5}}}[/tex]

D'autre part,
[tex]z'=\dfrac{1-z^5}{1-z}\\\\z'=\dfrac{1-(e^{\frac{i2\pi}{5}})^5}{1-z}\\\\z'=\dfrac{1-e^{i2\pi}}{1-z}\\\\z'=\dfrac{1-1}{1-z}\\\\\boxed{z'=0}[/tex]

Par identification des résultats, 

[tex]1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+e^{\frac{i4\pi}{5}}+e^{\frac{i6\pi}{5}}+e^{\frac{i8\pi}{5}}=0[/tex]

soit

[tex]1+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+i\sin(\dfrac{2\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+i\sin(\dfrac{4\pi}{5})\\+\cos(\dfrac{6\pi}{5})+i\sin(\dfrac{6\pi}{5})+\cos(\dfrac{8\pi}{5})+i\sin(\dfrac{8\pi}{5})=0\\\\\\1+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+\cos(\dfrac{6\pi}{5})+\cos(\dfrac{8\pi}{5})\\+i[\sin(\dfrac{2\pi}{5})+\sin(\dfrac{4\pi}{5})+\sin(\dfrac{6\pi}{5})+\sin(\dfrac{8\pi}{5}]=0+0i[/tex]

En identifiant les parties réelles des deux membres, nous obtenons : 

[tex]\boxed{1+\cos(\dfrac{2\pi}{5})+\cos(\dfrac{4\pi}{5})+\cos(\dfrac{6\pi}{5})+\cos(\dfrac{8\pi}{5})=0}[/tex]