(re)bonjour C'est un peu la cerise sur le gâteau celui-là, et je coince vraiment sur la fin, je crois savoir comment faire mais je ne sais pas mener cela à bien

(re)bonjour
C'est un peu la cerise sur le gâteau celui-là, et je coince vraiment sur la fin, je crois savoir comment faire mais je ne sais pas mener cela à bien.
Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos x.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier n, f(n)(x) = cos (x + nπ/2)
(On rappelle que f(^n) désigne la fonction dérivée nième de la fonction f et que la dérivée 0ième de la fonction f est la fonction f : f(0) = f )
1°) Vrai pour un entier ?
Pour n = 0:
f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
f(^0)(x) = cos (x+0π/2)
f(^0)(x) = cos (x)
Pour tout entier naturel n, appelons S(n) la proposition f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
1°) Vérifions que la proposition S(0) : f(^n)(x) = cos (x+nπ/2) est vraie.
S(0) = cos x d’après l’énoncé ; f(^0)(x) = cos (x+0π/2) donc f(^0)(x) = cos (x)
La proposition S(0) est vraie.
2°) Supposons que la proposition S(n) : « f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)» est vraie pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition f(^(n+1)) (x) = cos (x+(n+1) π/2) est vraie.
f(^(n+1))(x) = (cos (x+(n+1) π/2))’
= (cos (x + n π/2 + π/2))’
= (- sin (x + n π/2))’
= - cos (x + nπ/2)
Et là je pense qu'il suffirait de dire que n.π/2 est en fait modulo π/2, et ça permettrait de s'affranchir du signe négatif devant le cosinus!!!!
Mais comment dire ça de façon mathématique?