Bonjour ! Je suis en plein exo et une petite chose me bloque concernant deux suites défini dans |N: Un+1 = (Un + 2Vn)/3 Vn+1 = (Un + 3Vn)/2 U0=1 V0=12 Comment e

Bonjour Jibade218

Attention, la suite (Vn) est définie par V0=12 et [tex]v_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}[/tex]

Montrons que la suite (Vn-Un) est géométrique.
En effet,
[tex]v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{u_n+2v_n}{3}\\\\v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+3v_n)-4(u_n+2v_n)}{12}\\\\v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{3u_n+9v_n-4u_n-8v_n}{12}\\\\v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{v_n-u_n}{12}\\\\\boxed{v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{1}{12}\times(v_n-u_n)}[/tex]

Donc la suite  (Vn-Un) est géométrique de raison 1/3 et dont le premier terme est [tex]v_0-u_0=12-1=11[/tex]

D'où [tex]\boxed{v_n-u_n=11\times(\dfrac{1}{12})^n}[/tex]

D'autre part, la suite (3Un + 8Vn) est une suite constante.
En effet,
[tex]3u_{n+1}+8v_{n+1}=3\tiimes(\dfrac{u_n+2v_n}{3})+8(\dfrac{u_n + 3v_n}{4})\\\\3u_{n+1}+8v_{n+1}=u_n+2v_n+2u_n + 6v_n\\\\3u_{n+1}+8v_{n+1}=3u_n+8v_n[/tex]

D'où la suite (3Un + 8Vn) est une suite constante.

[tex]3u_{0}+8v_{0}=3+8\times12=99[/tex]

Donc, [tex]\boxed{3u_{n}+8v_{n}=99}[/tex]

Résolvons le système

[tex]\left\{\begin{matrix}v_n-u_n=11\times(\dfrac{1}{12})^n\\\\3u_{n}+8v_{n}=99\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}3v_n-3u_n=33\times(\dfrac{1}{12})^n\\\\3u_{n}+8v_{n}=99\end{matrix}\right.[/tex]

Additionnons les équations membre à membre.

[tex]11v_n=33\times(\dfrac{1}{12})^n+99\\\\\boxed{v_n=3\times(\dfrac{1}{12})^n+9}[/tex]

[tex]v_n-u_n=11\times(\dfrac{1}{12})^n\\\\u_n=v_n-11\times(\dfrac{1}{12})^n\\\\u_n=3\times(\dfrac{1}{12})^n+9-11\times(\dfrac{1}{12})^n\\\\\boxed{u_n=9-3\times(\dfrac{1}{12})^n}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{u_n=9-\dfrac{3}{12^n}\ \ et\ \ v_n=9+\dfrac{3}{12^n}}[/tex]