Salut, Dans mon cours j'ai ceci: u0 € R donné un+1=f(un) Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'é
Mathématiques
Deg420
Question
Salut,
Dans mon cours j'ai ceci:
u0 € R donné
un+1=f(un)
Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x
Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème aexois.
Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
Si oui, pourquoi.
Si non, expliquez moi.
Merci.
Dans mon cours j'ai ceci:
u0 € R donné
un+1=f(un)
Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x
Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème aexois.
Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
Si oui, pourquoi.
Si non, expliquez moi.
Merci.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
En effet, il s'agit du théorème du point fixe :
"soit (u) une suite définie par u(n+1)=f(u(n)) avec f définie et continue sur un intervalle I ; si pour tout entier n : u(n) ∈ I et si (u) converge vers une limite L alors cette limite L vérifie l'équation f(x)=x"
La preuve réside dans la continuité de f :
u(n+1)=f(u(n))
or f est continue sur I et u(n) ∈ I
donc L=lim(u(n+1))=lim(f(u(n))=f(lim(u(n)))=f(L)
donc L vérifie f(x)=x