Salut, j'essaie de résoudre l'exo suivant, et je rencontre qques difficultés: Soit a et b deux réels quelconques. Trouver toutes les fonctions définies sur R vé
Mathématiques
Siwazuri593
Question
Salut, j'essaie de résoudre l'exo suivant, et je rencontre qques difficultés:
Soit a et b deux réels quelconques. Trouver toutes les fonctions définies sur R vérifiant l'égalité : f(a)+f(b)=f(a+b)
Ma tentative:
1) 3 solutions évidentes f(x)=0 , f(x)=x et f(x)=-x , donc il existe au moins 3 fonctions solutions.
2) En prenant b=-a , on trouve : f(a)+f(-a)=f(0)
3) Si a=b=0: f(0)+f(0)=f(0) <=> f(0)=0 ; donc d'après 2, et comme f est définie sur R (centrée en 0) , f est donc impaire.
4) On dérive membre à membre (et c'est là le problème car rien ne me prouve que f est dérivable) l'égalité suivante:
f(x)+f(a)=f(x+a) , avec a réel, ce qui donne:
f'(x)=f'(x+a) , comme a peut prendre n'importe quelle valeur, donc f' est constante.
f'(x)=cte => f(x)=ax+b , or f(0)=0 , donc f(x)=ax (fonction linéaire)
On vérifie que toute les fonctions linéaires sont bien toutes solutions.
Mon raisonnement est-il correct ? Qu'en est-il des fonctions non dérivables mais définies sur R ?
Soit a et b deux réels quelconques. Trouver toutes les fonctions définies sur R vérifiant l'égalité : f(a)+f(b)=f(a+b)
Ma tentative:
1) 3 solutions évidentes f(x)=0 , f(x)=x et f(x)=-x , donc il existe au moins 3 fonctions solutions.
2) En prenant b=-a , on trouve : f(a)+f(-a)=f(0)
3) Si a=b=0: f(0)+f(0)=f(0) <=> f(0)=0 ; donc d'après 2, et comme f est définie sur R (centrée en 0) , f est donc impaire.
4) On dérive membre à membre (et c'est là le problème car rien ne me prouve que f est dérivable) l'égalité suivante:
f(x)+f(a)=f(x+a) , avec a réel, ce qui donne:
f'(x)=f'(x+a) , comme a peut prendre n'importe quelle valeur, donc f' est constante.
f'(x)=cte => f(x)=ax+b , or f(0)=0 , donc f(x)=ax (fonction linéaire)
On vérifie que toute les fonctions linéaires sont bien toutes solutions.
Mon raisonnement est-il correct ? Qu'en est-il des fonctions non dérivables mais définies sur R ?
1 Réponse
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1. Réponse overjay
pour que f soit dérivable, il faut quelle soit continue.
continuité pour que f(x+a) - f(a) -> 0 quandd x-> 0 , il suffit que f(x) -> 0 quand x->0
montrons que f est continue en zero
prennons a = b = espilon / 2
2f(esplion/2) = f(esplion) la fonction est donc k klipschitzienne de rapport 1/2
donc continue.
Dérivabilité :
(f(a+x)-f(a) )/x = f(x)/x est défini dès que x <> 0
Limite (f(a+x)-f(a)) / x = limite f(x) / x si elle est définie.
x->0 x->0
comme f(eps/2) = f(esp) / 2
f(esps /2) / esp/2 = 2 f(esp/2)/esp = f(esp) / esp
donc la fonction est dérivalbe sa dérivée vaux f(esp) / esp.
Supposons qu'on fonction non lineaire soit solution.
c'est une fonction telle que il existe un x tel que f(x) ne vaut pas f(1) * x
Supposons que x soit rationnel positif x = p/q (p, q entier naturels)
f(x) = f(p/q) <> f(1) * x
f(p/q) * q = f(pq/) + f(p/q + ... + f(p/q) = f(p/q+p/q+...+p/q) = f(p)
------q fois , donc-------- -----q fois , donc--
donc f(p/q) = f(p) / q
f(p) = f(1) * p pour la même raison
donc f(p/q) = p/q * f(1) = x * f(1) -> condratiction
donc si x est rationnel, f(x) = x*f(1) (il est facile de montrer le cas négatif)
donc pour tous les rationnels f(x) =
Il reste à montre ce que ce passe pour un nombre irrationnel
soit x un irrationnel
suppposons que f(x) <> f(1) *x
x est encadré par des rationnel a et b aussi proche de x qu'on veut
x-a = esp irrationnel et b-x = esp irrationnel
f(b-x) = f(x-a) = f(esp) qui tend vers 0 en x -> 0
donc f(x) = f(x-a)-f(a) tends vers 0
donc f(x) tend vers f(a)
supposons que f(x) <> f(a) = a.f(1) soit x f(1)
on peut construire une suite xn encadré par 2 sous-siutes adjactences, convergentes, donc f(x) converge vers x.f(1)