Bonjour, je dois démontrer que la limite de sin(1/x) en 0 n'existe pas.Je pense avoir trouvé un raisonnement mais j'aimerai savoir si il est correct.Le voici: P
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Bwire600
Question
Bonjour, je dois démontrer que la limite de sin(1/x) en 0 n'existe pas.Je pense avoir trouvé un raisonnement mais j'aimerai savoir si il est correct.Le voici:
Posons X=1/x avec x différent de 0.
La limite de sin(1/x) lorsque x tend vers 0+ est la limite de sin X lorsque X tend vers +oo.
De même,la limite de sin(1/x) lorsque tend vers 0- est la limite de sin X lorsque X tend vers -oo.
Or sin x diverge lorsque x tend vers + ou -oo donc sin (1/x) n'a pas de limite en 0.
Voilà mon raisonnement!
Merci beaucoup pour votre aide.
Posons X=1/x avec x différent de 0.
La limite de sin(1/x) lorsque x tend vers 0+ est la limite de sin X lorsque X tend vers +oo.
De même,la limite de sin(1/x) lorsque tend vers 0- est la limite de sin X lorsque X tend vers -oo.
Or sin x diverge lorsque x tend vers + ou -oo donc sin (1/x) n'a pas de limite en 0.
Voilà mon raisonnement!
Merci beaucoup pour votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Raisonnement par l’absurde :
Supposons que la fonction f définie par f(x)=sin(1/x) possède une limite l quand x tend vers +∞
alors pour toute suite (Xn) convergente vers 0, on doit avoir que la suite (f(Xn)) converge vers l (*)
on pose alors X(n)=1/(nπ) et Y(n)=2/((4n+1).π)
donc lim(Xn)=lim(Yn)=0 si x -->+∞
or lim(f(Xn))=lim(sin(n.π))=0
et lim(f(Yn))=lim(sin(2nπ+π/2)=1
on obtient alors une contradiction avec (*)
conclusion :
f ne possède pas de limite en +∞
on montre de façon analogue que f n'admet pas de limite en -∞