Bonjour à tous, je travaille sur le premier chapitre de terminale S (variations et continuité) et un exercice m'a posé un petit souci à la deuxième sous-questio
Mathématiques
Adelaja806
Question
Bonjour à tous,
je travaille sur le premier chapitre de terminale S (variations et continuité) et un exercice m'a posé un petit souci à la deuxième sous-question.
Voici l'intitulé:
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, soit fn la fonction définie sur [0;1] par: fn(x)=x3-2nx+1
a- Démontrer que l'équation fn(x) = 0 aexoet une unique solution an dans l'intervalle [0;1].
Pour celle là j'ai réussi, pas de problème.
b- Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, an ≤ 1/n
Voilà c'est donc pour celle-ci que j'ai un problème.
En attendant une réponse, merci d'avance
à bientot tout le monde
je travaille sur le premier chapitre de terminale S (variations et continuité) et un exercice m'a posé un petit souci à la deuxième sous-question.
Voici l'intitulé:
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, soit fn la fonction définie sur [0;1] par: fn(x)=x3-2nx+1
a- Démontrer que l'équation fn(x) = 0 aexoet une unique solution an dans l'intervalle [0;1].
Pour celle là j'ai réussi, pas de problème.
b- Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, an ≤ 1/n
Voilà c'est donc pour celle-ci que j'ai un problème.
En attendant une réponse, merci d'avance
à bientot tout le monde
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Soit la suite de fonctions : fn(x)=x³-2n.x+1
fn(x)=0 possède comme solution a(n) ∈ [0;1]
donc fn(a(n))=0
donc (a(n))³-2n.a(n)+1=0
donc a(n)(a(n)²-2n)=-1
donc a(n) =-1/(a(n)²-2n)
donc a(n)=1/(2n-a(n)²)
or 0 ≤ a(n) ≤ 1 donc 0 ≤ a(n)² ≤ 1 donc -1 ≤ -a(n)² ≤ 0
donc a(n) ≤ 1/(2n-1) ≤ 1/n pour tout n≥2
ainsi pour tout n≥2 : a(n) ≤ 1/n