exercices 33 p 182 dans la figure ci dessous , un segment [AB] de longueur 15 cm a ses extrémités sur un demi cercle de centre O et de rayon 8.5 cm. le milieu

B appartient au cercle (C1) de centre O passant par A
soit [AC] le diamètre de (C1)
donc (AB) est perpendiculaire à (BC) d'après le th du cercle circonscrit

par ailleurs, E est le milieu de [AB] et O est le milieu de [AC]
d'après le th des milieux (EO) // (BC)

ainsi d'après le th d'Euclide, les droites (EO) et (AB) sont perpendiculaires
donc la droite (AB) est tangente au cercle (C2) de centre O de rayon 4 cm, au point E

Je sais que E est le milieu de AB, donc EB= 15/2 = 7.5 cm
Dans le triangle OEB, je calcule OB²= 8.5² = 72.25 d'une part et OE²+EB²= 4²+7.5²= 72.25
Je constate que OE²+EB²=OB²
D'après la réciproque du t de Pythagore, le triangle EOB est rectangle en E.
(AB)  est donc perpendiculaire au rayon [OE] au point E.
Or, d'après la propriété: "si une droite est perpendiculaire au rayon d'un cercle en un point de son périmètre, alors cette droite est tangente au cercle en ce point ". 
donc (AB) est tangente au cercle rose au point E