Exercice 1: Quand l'implication Si A alors B est vraie, on dit que A est une condition suffisante pour B en clair : Si A est vraie , cela suffit pour être sûr
Mathématiques
Obaseki959
Question
Exercice 1:
Quand l'implication "Si A alors B " est vraie, on dit que A est une condition suffisante pour B en clair : Si A est vraie , cela suffit pour être sûr que B est vraie B est une condition nécessaire pour A en clair : A ne peut pas être vraie sans que B soit vraie
Exemple:
x=2 est une condition suffisante pour que x²=4
(Mais elle n'est pas nécessaire car on a x²=4 pour une autre valeur: x=2
Lorsqu'une propriété est à la fois nécessaire et suffisante on peut dire: Pour que A soit vraie il faut et il suffit que B soit vraie (et inversement)
A équivaut à B(Et inversement)
B est une condition nécessaire et suffisante pour A(et inversement)
Voici un problème:
Existe t-il deux nombres entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à k, ou k est un entier naturel donné ?
On souhaite démontrer que la condition nécessaire est suffisante pour que le problème ait au moins une solution est " 2k-1 est un carré parfait"
1)Conjecturer le résultat avec k=113, k=116 par exemple
2)Condition suffisante: On suppose ici qu'il existe deux entiers naturels consécutifs n et (n+1) tels que la somme de leurs carrés est égale à un entier k donné
a-Montrer que n vérifie une équation du second degré dont le discriminant est 8k-4
b-Conclure
3)Condition nécessaire: On suppose ici que 2k-1 est un carré parfait c'est à ire qu'il existe un entier q tel que 2k-1=q²
a-Montrer que n vérifie alors une équation du seconde degré dont le discriminant est 4q²
b-Conclure
Merci de m'aider pour cet exercice , mon professeur de maths n'a pas fait de chapitre en rapports avec ce dm il a aussi écrit " L'exercice 1 est difficile , vous devrez chercher un certain temps avant de trouver"
Merci d'avoir une réponse le plus tôt possible
Quand l'implication "Si A alors B " est vraie, on dit que A est une condition suffisante pour B en clair : Si A est vraie , cela suffit pour être sûr que B est vraie B est une condition nécessaire pour A en clair : A ne peut pas être vraie sans que B soit vraie
Exemple:
x=2 est une condition suffisante pour que x²=4
(Mais elle n'est pas nécessaire car on a x²=4 pour une autre valeur: x=2
Lorsqu'une propriété est à la fois nécessaire et suffisante on peut dire: Pour que A soit vraie il faut et il suffit que B soit vraie (et inversement)
A équivaut à B(Et inversement)
B est une condition nécessaire et suffisante pour A(et inversement)
Voici un problème:
Existe t-il deux nombres entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à k, ou k est un entier naturel donné ?
On souhaite démontrer que la condition nécessaire est suffisante pour que le problème ait au moins une solution est " 2k-1 est un carré parfait"
1)Conjecturer le résultat avec k=113, k=116 par exemple
2)Condition suffisante: On suppose ici qu'il existe deux entiers naturels consécutifs n et (n+1) tels que la somme de leurs carrés est égale à un entier k donné
a-Montrer que n vérifie une équation du second degré dont le discriminant est 8k-4
b-Conclure
3)Condition nécessaire: On suppose ici que 2k-1 est un carré parfait c'est à ire qu'il existe un entier q tel que 2k-1=q²
a-Montrer que n vérifie alors une équation du seconde degré dont le discriminant est 4q²
b-Conclure
Merci de m'aider pour cet exercice , mon professeur de maths n'a pas fait de chapitre en rapports avec ce dm il a aussi écrit " L'exercice 1 est difficile , vous devrez chercher un certain temps avant de trouver"
Merci d'avoir une réponse le plus tôt possible
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
1) 113=49+64=7²+8² donc pour n=7 on a bien n²+(n+1)²=113
Pour 116 il n'y a pas de solution.
2) a) n²+(n+1)²=k
⇔n²+n²+2n+1=k
⇔2n²+2n+(1-k)=0
Δ=2²-4x2x(1-k)=4-8(1-k)=4-8+8k=8k-4
2b) Pour que l'équation est une solution il faut que 8k-4 soit positif soit 8k-4≥0
Soit 2k-1≥0
√Δ=√(8k-4)=2√(2k-1)
Les solutions seront n1=(-2+2√(2k-1))/4=(√(2k-1)-1)/2 e n2=(-2-2√(2k-1))/4≤0
Donc la seule solution positive est (√(2k-1)-1)/2.
Pour que cette solution soit entière, il faut que √(2k-1) soit entier donc que 2k-1 soit un acrré parfait.
3a) n²+(n+1)²=k
Soit 2n²+2n+(1-k)=0
Δ=8k-4=4(2k-1)=4q²
3b) La solution positive est (-2+√4q²)/4=(2q-2)/4=(q-1)/2
Donc n=(q-1)/2 et n+1=(q+1)/2
Donc n²+(n+1)²=(q-1)²/4+(q+1)²/4=(q²-2q+1+q²+2q+1)/4=(2q²+2)/4=(q²+1)/2
Or q²=2k-1 donc n²+(n+1)²=(2k-1+1)/2=k
Donc si 2k-1 est un carré parfait, l'équation n²+(n+1)²=k admet une solution entière.