Bonjour, Voilà, mon professeur m'a donner le week-end pour faire ce DM (à rendre mardi) et je bloque sur un exercice dans lequel on me demande de démontrer par
Mathématiques
Fethee104
Question
Bonjour,
Voilà, mon professeur m'a donner le week-end pour faire ce DM (à rendre mardi) et je bloque sur un exercice dans lequel on me demande de démontrer par récurrence que pour tout n> ou égal à 2
voici la suite:
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = n+1/2n
Voilà, je vous en supplie ! Help ! Merci à tout ceux qui prendront le temps de répondre à ce sujet
Je sais que pour l'initialisation, il faut d'abord que je trouve la raison. Je n'ai absolument aucune idée pour ce qu'elle peut être...
Merci
Voilà, mon professeur m'a donner le week-end pour faire ce DM (à rendre mardi) et je bloque sur un exercice dans lequel on me demande de démontrer par récurrence que pour tout n> ou égal à 2
voici la suite:
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = n+1/2n
Voilà, je vous en supplie ! Help ! Merci à tout ceux qui prendront le temps de répondre à ce sujet
Je sais que pour l'initialisation, il faut d'abord que je trouve la raison. Je n'ai absolument aucune idée pour ce qu'elle peut être...
Merci
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Propriété : P(n) : (1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
Initialisation :
si n=2 alors
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) =1-1/4=3/4
et (n+1)/(2n)=3/4
donc P(2à est vraie
Hérédité :
supposons que
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (1-1/(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (n²+2n)/(n+1)²
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= n(n+1)(n+2)/((2n)(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+2)/(2(n+1))
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout n ≥ 2 : (1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)