Bonjour, Exercice: On considère la matrice A: en haut (2 4) en bas(-1 -2); Il faut montrer par récurrence que (I2+A)^n=I2+nA Comment faire ? Merci.

[tex] A=\left (\begin{array}{ccc}2&4\\-1&-2\end{array}\right)[/tex]
[tex] I_2=\left (\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right)[/tex]
[tex]A^2=\left (\begin{array}{ccc}2&4\\-1&-2\end{array}\right)^2=\left (\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right)[/tex]
donc [tex] A^n=\left (\begin{array}{ccc}2&4\\-1&-2\end{array}\right)^n=\left (\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right)[/tex] pour n>0
on dit que A est une matrice nilpotente d'ordre 1

Récurrence  sur n :
* Initialisation : pour n=0
[tex](I_2+ A)^0=\left (\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right)=I_2+0.A[/tex]

* Hérédité : on suppose que la propriété est vraie au rang n
donc [tex](I_2+A)^n=I_2+n.A[/tex]
donc [tex](I_2+A)^n \times (I_2+A)=(I_2+n.A) \times (I_2+A)[/tex]
donc [tex](I_2+A)^{n+1}=(I_2)^2+n.A \times I_2+I_2 \times A+n.A \times A[/tex]
donc [tex](I_2+A)^{n+1}=I_2+n.A+A+n.A^{n+1}[/tex]
donc [tex](I_2+A)^{n+1}=I_2+(n+1).A[/tex]
donc la propriété est encore vraie au rang n+1

Conclusion : pour tout entier n : [tex](I_2+A)^n=I_2+n.A[/tex]