Soit les fonctions f et g définies sur R par: f(x) = (exp(x) - exp(-x))/2 et g(x)= (exp(x)+exp(-x))/2 1)a) Démontrer que pour tout réel x : f(-x)=-f(x) Quer peu
Mathématiques
Yahya154
Question
Soit les fonctions f et g définies sur R par: f(x) = (exp(x) - exp(-x))/2 et g(x)= (exp(x)+exp(-x))/2
1)a) Démontrer que pour tout réel x : f(-x)=-f(x)
Quer peut-on en déduire pour la courbe C représentant f dans un repère orthonormé?
b)Déterminer les limites de f en -l'infini et +l'infini puis son sens de variation.
c)Préciser le signe de f(x) pour tout réel x.
2)a)Démontrer que pour tout réel x: g(-x)=g(x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C' représentant g?
b)Déterminer les limites de g en -l'infini et +l'infini, puis ses variations.
On pourra utiliser les résultats de la question 1) pour déterminer le signe de g'.
c) Démontrer que limite de (f(x)-g(x))=0 quand x tend vers +l'infini.
Que peut-on en déduire pour les courbes C et C'?
Mon problème est que je suis bloquée au niveau de la dérivée de g(x) pour étudier les variations de g, je ne peux donc pas finir mon DM. Merci de bien vouloir m'aider, surtout que je ne suis pas en avance..
1)a) Démontrer que pour tout réel x : f(-x)=-f(x)
Quer peut-on en déduire pour la courbe C représentant f dans un repère orthonormé?
b)Déterminer les limites de f en -l'infini et +l'infini puis son sens de variation.
c)Préciser le signe de f(x) pour tout réel x.
2)a)Démontrer que pour tout réel x: g(-x)=g(x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C' représentant g?
b)Déterminer les limites de g en -l'infini et +l'infini, puis ses variations.
On pourra utiliser les résultats de la question 1) pour déterminer le signe de g'.
c) Démontrer que limite de (f(x)-g(x))=0 quand x tend vers +l'infini.
Que peut-on en déduire pour les courbes C et C'?
Mon problème est que je suis bloquée au niveau de la dérivée de g(x) pour étudier les variations de g, je ne peux donc pas finir mon DM. Merci de bien vouloir m'aider, surtout que je ne suis pas en avance..
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1/ a) Démonstration de l'imparité de f :
Soit x un réel.
[tex]f(-x)= \frac{\exp(-x)-\exp(-(-x))}{2}=\frac{\exp(-x)-\exp(x)}{2}=-\frac{-\exp(-x)+\exp(x)}{2}[/tex]
[tex]-\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}=-f(x)[/tex]
On sait que la courbe C est une reconstruction symétrique par rapport à 0 d'après ce résultat.
b) Limite en les infinis :
[tex]\lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{\exp(x)}{2}-\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{\exp(-x)}{2}=+\infty-0=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow-\infty} \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow-\infty} \frac{\exp(x)}{2}-\lim_{x \rightarrow-\infty} \frac{\exp(-x)}{2}=0-\infty=-\infty[/tex]
c) D'après les deux premières questions, sachant de plus que [tex]f(0)[/tex] est bien égal à 0, alors on sait que si x < 0, [tex]f(x)\ \textless \ 0[/tex] et si x > 0, [tex]f(x) \ \textgreater \ 0[/tex].
2/ Tout est quasiment similaire à cette première partie : tu peux le faire seul.
PARTIE SUR LA DÉRIVÉE DE g :
Ce qu'il faut remarquer, c'est que la dérivée de l'une est un ajustement de l'autre fonction. Je m'explique :
[tex]g'(x)= \frac{\exp(x)}{2}+ \frac{-\exp(-x)}{2}= \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}=f(x)[/tex]
Donc, pour trouver le signe de g' , il suffit de connaître le signe de f. Et le signe de f, tu l'as normalement établi à la question 1/ c) !
Tu peux terminer aisément en calculant la dernière limite qui n'est pas difficile.