Bonjour j'ai un exercice dont je ne comprend pas et je voudrais des conseils merci d'avance la voici: Exercice 3 (une équation) On souhaite résoudre l'équation
Mathématiques
Mwake613
Question
Bonjour j'ai un exercice dont je ne comprend pas et je voudrais des conseils merci d'avance la voici:
Exercice 3 (une équation)
On souhaite résoudre l'équation (E): e^x+xe^x²-2e=0.
Soit f la fonction définie par f(x)=e^x+xe^(x²)-2e pour tout réel x.
1.Calculer lim f(x).
x?+
2.Calculer lim f(x).
x?-00
3.Montrer que f est dérivable sur R, et que f'(x)=e(^x)+e(^x²)+2x²e^x² pour tout x appartient R.
4.Montrer que l'équation (E) admet une unique solution alpha sur R.
5.Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de alpha et vérifier la conjecture.
Exercice 3 (une équation)
On souhaite résoudre l'équation (E): e^x+xe^x²-2e=0.
Soit f la fonction définie par f(x)=e^x+xe^(x²)-2e pour tout réel x.
1.Calculer lim f(x).
x?+
2.Calculer lim f(x).
x?-00
3.Montrer que f est dérivable sur R, et que f'(x)=e(^x)+e(^x²)+2x²e^x² pour tout x appartient R.
4.Montrer que l'équation (E) admet une unique solution alpha sur R.
5.Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de alpha et vérifier la conjecture.
1 Réponse
-
1. Réponse Anonyme
Exercice 3
On souhaite résoudre l'équation (E): e^x+xe^x²-2e=0.
Soit f la fonction définie par f(x)=e^x+xe^(x²)-2e pour tout réel x.
1.Calculer lim f(x).
lim(e^x,+∞)=+∞
lim(x.e^(x²),+∞)=+∞
donc lim(f(x),+∞)=+∞
2.Calculer lim f(x).
lim(e^x,-∞)=0
lim(x.e^(x²),-∞)=-∞
donc lim(f(x),+∞)=-∞
3.Montrer que f est dérivable sur R, et que f'(x)=e(^x)+e(^x²)+2x²e^x² pour tout x appartient R.
f est dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables sur IR
f'(x)=e^x+1.e^(x²)+x.(2x)e^(x²)
=e^x+e^(x²)+2x².e^(x²)
4.Montrer que l'équation (E) admet une unique solution alpha sur R.
(E): e^x+xe^x²-2e=0.
f'(x)>0 donc f est strict croissante sur IR
* f est continue sur ]-∞;+∞[
* f est continue sur ]-∞;+∞[
* lim(f(x),+∞)=+∞ et lim(f(x),+∞)=+∞
d'après le th de la bijection appliqué à f sur IR on en déduit que l'équation f(x)=0 possède une solution unique α∈ IR
5.Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de alpha et vérifier la conjecture.
f(α)=0 donne avec une calculatrice : α=1