Bonjour, j'ai un dm a rendre pour la rentrée et je suis bloquée a cette question : Démontrer que la suite (Un) est croissante puis qu'elle converge. La suite (U
Mathématiques
Kwabena68
Question
Bonjour, j'ai un dm a rendre pour la rentrée et je suis bloquée a cette question :
Démontrer que la suite (Un) est croissante puis qu'elle converge.
La suite (Un) étant définie par U0 = 1 et Un+1 = f(Un) = racine carrée de 1+ Un
Je sais que je dois procéder soit par récurrence mais je n'y arrive pas, soit en faisant Un+1 - Un mais ce n'est pas concluant non plus..
Quant a la convergence de la suite, j'ai déjà démontré que celle ci était bornée donc je n'aurais aucun problème pour montrer qu'elle converge.
Merci pour votre aide
Démontrer que la suite (Un) est croissante puis qu'elle converge.
La suite (Un) étant définie par U0 = 1 et Un+1 = f(Un) = racine carrée de 1+ Un
Je sais que je dois procéder soit par récurrence mais je n'y arrive pas, soit en faisant Un+1 - Un mais ce n'est pas concluant non plus..
Quant a la convergence de la suite, j'ai déjà démontré que celle ci était bornée donc je n'aurais aucun problème pour montrer qu'elle converge.
Merci pour votre aide
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
U1=√(1+Uo)=√2>Uo c'est vérifié au rang 0
Supposons qu'au rang n on ait :
Un+1≥Un
Alors :
√(1+Un)≥Un
⇔ 1+√(1+Un)≥1+Un
⇔√(1+√(1+Un))≥√(1+Un) (car la fonction √ est croissante)
⇔√(1+Un+1)≥Un+1
⇔Un+2≥Un+1
Donc quelque soit n Un+1≥Un : Un est croissante