Bonjour, Je dois démontrer que 5^(n+1) divise Un, sachant que (Un) est la suite définie sur N par: u0= 2009²-1 et Un+1= (Un+1)^(5)-1 On admet que pour tout n de
Mathématiques
Berhanua399
Question
Bonjour,
Je dois démontrer que 5^(n+1) divise Un,
sachant que (Un) est la suite définie sur N par:
u0= 2009²-1 et Un+1= (Un+1)^(5)-1
On admet que pour tout n de N
Un+1= Un(Un^4+5(Un^3+2Un²+2Un+1))
J'ai fait l'initialisation; pour l'Hérédité j'ai commencé à écrire:
Pn= 5^(n+1) divise Un
Pn+1= 5^(n+2) divise Un+1
On suppose que Pn est vraie, on doit donc montrer que Pn+1, l'est également.
Pourriez-vous m'aider à continuer, s'il vous plaît ?
Merci.
Je dois démontrer que 5^(n+1) divise Un,
sachant que (Un) est la suite définie sur N par:
u0= 2009²-1 et Un+1= (Un+1)^(5)-1
On admet que pour tout n de N
Un+1= Un(Un^4+5(Un^3+2Un²+2Un+1))
J'ai fait l'initialisation; pour l'Hérédité j'ai commencé à écrire:
Pn= 5^(n+1) divise Un
Pn+1= 5^(n+2) divise Un+1
On suppose que Pn est vraie, on doit donc montrer que Pn+1, l'est également.
Pourriez-vous m'aider à continuer, s'il vous plaît ?
Merci.
1 Réponse
-
1. Réponse slyz007
Supposons que 5^(n+1) divise Un
donc il existe un entier k tel que Un=k*5^(n+1)
Donc Un+1=k*5^(n+1)(k^4*5^(4n+4)+5(k³*5^(3n+3)+2*k²*5^(2n+2)+2*k*5^(n+1)+1))
On met 5 en facteur :
Un+1=k*5^(n+1)*5(k^4*5^(4n+3)+(k³*5^(3n+3)+2*k²*5^(2n+2)+2*k*5^(n+1)+1))
Un+1=5^(n+2)*k(k^4*5^(4n+3)+(k³*5^(3n+3)+2*k²*5^(2n+2)+2*k*5^(n+1)+1))
Donc 5^(n+2) divise Un+1