Bonsoir , je ne comprends pas cette exercice , du moins je ne sais pas comment faire d'abord la première question , Pouvez m'éclairez s'il vous plaît ? Voici l'
Mathématiques
Zira828
Question
Bonsoir , je ne comprends pas cette exercice , du moins je ne sais pas comment faire d'abord la première question , Pouvez m'éclairez s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé : " Dans une ville de 20 000 habitants, à 7 heures du matin, 100 personnes apprennent une rumeur. Une heure plus tard, 350 personnes en tout la connaissent.
Soit un le nombre de personnes " au courant " au bout de n heures. On adopte l'hypothèse suivante : le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle {n ; n+1} est proportionnel à un.
1.a.Montrer qu'il existe un réel a tel que un+1=(1+a)un pour tout entier naturel à un.
b. Quelle est la nature de la suite (un) ?
c. Préciser u0 et u1. En déduire le réel a .
d. En déduire que un= 100 * 3,5n.
2.a. Etudier le sens de variation de cette suite et déterminer sa limite.
b. Au bout de combien d'heures , la rumeur aura-t-elle touché la moitié de la ville ? 80% de la ville ? toute la ville ? "
merci de votre aide car je continue à chercher pour la première question et je ne vois pas vraiment . En fait je pense qu'il faut exprimer la suite n mais je ne sais pas comment fait on .
Voici l'énoncé : " Dans une ville de 20 000 habitants, à 7 heures du matin, 100 personnes apprennent une rumeur. Une heure plus tard, 350 personnes en tout la connaissent.
Soit un le nombre de personnes " au courant " au bout de n heures. On adopte l'hypothèse suivante : le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle {n ; n+1} est proportionnel à un.
1.a.Montrer qu'il existe un réel a tel que un+1=(1+a)un pour tout entier naturel à un.
b. Quelle est la nature de la suite (un) ?
c. Préciser u0 et u1. En déduire le réel a .
d. En déduire que un= 100 * 3,5n.
2.a. Etudier le sens de variation de cette suite et déterminer sa limite.
b. Au bout de combien d'heures , la rumeur aura-t-elle touché la moitié de la ville ? 80% de la ville ? toute la ville ? "
merci de votre aide car je continue à chercher pour la première question et je ne vois pas vraiment . En fait je pense qu'il faut exprimer la suite n mais je ne sais pas comment fait on .
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
1a. Puisqu'on admet que le nombre de personne touchée dans l'intervalle [n;n+1] est proportionnel à Un c'est qu'il existe un réel a tel que le nombre de personne touchée entre n et n+1 est a*Un
Donc au total au bout de n+1 heures on a Un+1=Un+a*Un=(1+a)Un
1b. Un est une suite géométrique de raison 1+a
1c. Uo=100
U1=350
U1=(1+a)Uo=100(1+a)=100+100a=350
donc 100a=350-100=250
donc a=250/100=2,5
1d) La forme générale d'une suite géométrique est Un=Uo*R^n R étant la raison
Donc Un=100*3,5^n
2a) 3,5>1 donc Un est croissante. La limite de la suite est le nombre d'habitant de la ville soit LimUn=20.000
2b) 50% de la ville=10.000 habitants
On cherche n tel que 100*3,5^n≥10000
Soit 3,5^n≥100
Si tu connais le logarithme tu as :
n*ln(3,5)≥ln100
n≥ln100/ln3,5≈3,7
Donc au bout de 4 heures la moitié de la ville connaitra la rumeur.
Sinon tu cherches en calculant les valeurs successives de la suite.
Pour 80%
3,5^n≥160
n=5
U5=52522
Donc au bout de 5 heures toute la ville connait la rumeur