bonjour, soit (Un) la suite définie par U0=1 et pour tout naturel n, Un+1=(3Un+2)/4 1) démontrer par récurrence que, pour tout n, 0 2) démontrer par récurrence
Mathématiques
Kwame218
Question
bonjour,
soit (Un) la suite définie par U0=1 et pour tout naturel n, Un+1=(3Un+2)/4
1) démontrer par récurrence que, pour tout n, 0 2) démontrer par récurrence que, pour tout n, Un=2-0.75^n
3) quel est le sens de variation de la suite,
4) déterminer sa limite
Réponse:
1) Initialisation: pour n=0
U0=1
U0+1=(3*1+2)/4=5/4=1.25 donc 0 heredité:
soit n>=0 quelconque fixé
on suppose que 0 or 0 0<3Un<6
2<3Un+2<8
0.5<(3Un+2)/4<2
soit 0<0.5 conclusion
selon le principe de récurrence, on amontrer que 0 3) je n'y arrive pas, c'est pour ça que je vais appelle à vos aides.
4) je n'y arrive pas non plus.
merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse xxx102
Bonjour,
Pour le 3 on fait la méthode classique : un+1 - un :
Soit n un entier naturel, on a :
[tex]u_{n+1}-u_n = 2-0{,}75^{n+1} -2+0{,}75^n\\ u_{n+1}-u_n = 0{,}75^n\left(1-0{,}75\right)\\ u_{n+1}-u_n = 0{,}75^n\times 0{,}25\\[/tex]
Ce dernier nombre est strictement positif pour toute valeur de n, la suite est alors croissante.
4)On a 0 < 0,75 < 1, d'où :
[tex]\lim \limits_{n\mapsto +\infty} 0{,}75^n = 0[/tex]
On en déduit rapidement que la suite (un) converge vers 2.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)