Salut Un souci avec un exercice pour dans quelques jours, c'est une sorte de problème pour nous aider à résoudre des équations du 4e degré je crois. Voici l'éno
Mathématiques
Babatunji823
Question
Salut
Un souci avec un exercice pour dans quelques jours, c'est une sorte de problème pour nous aider à résoudre des équations du 4e degré je crois.
Voici l'énoncé :
(E) désigne l'équation ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (avec a0)
1) Montrer que 0 n'est pas solution de l'équation.
2) Montrer que si est solution alors 1/ est solution.
3) Montrer que (E) a les mêmes solutions que l'équation ax2 + bx + c + b/x + a/x2 = 0 (E').
4) En posant X = x + 1/x, montrer que (E') se ramène à une équation du second degré (E'').
5) Montrer que si b2 strictement inférieur à 4a (c-2a) alors l'équation n'a pas de solution.
Application : résoudre x4 - x3 - 10x2 - x + 1 = 0 en reprenant la même démarche.
Mes réponses :
1) Si 0 est solution nous avons a*0 + b*0 + c*0 + b*0 + a = 0 a = 0, or a 0, donc il n'y a pas de solution ?
Ensuite je ne comprends plus vraiment.. Je dois vérifier que est solution et donc que 1/ l'est mais comment ?
Pourriez-vous me mettre sur la voie, que je réfléchisse, on aura ce genre de chose en interro, faut que je forge un peu mon cerveau
Thank you very much,
Dedalus.
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
2) Supposons que s soit solution :
as^4+bs³+cs²+bs+a=0
D'après 1) on sait que s≠0
On factorise s^4 :
s^4(a+b/s+c/s²+b/s³+a/s^4)=0
comme s≠0 on simplifie :
a*1/s^4+b*1/s³+c*1/s²+b*1/s+a=0
donc 1/s est aussi solution.
3) ax^4+bx³+cx²+bx+a=0
On factorise par x²
ax^4+bx³+cx²+bx+a=x²(ax²+bx+c+b/x+a/x²)
comme x≠0 n'est pas solution on a :
ax^4+bx³+cx²+bx+a=0 ⇔ ax²+bx+c+b/x+a/x²=0
4) ax²+bx+c+b/x+a/x²=0
⇔a(x²+1/x²)+b(x+1/x)+c
⇔a(x²+1/x²+2-2)+b(x+1/x)+c=0
⇔a((x+1/x)²-2)+b(x+1/x)+c=0
On pose X=x+1/x et on obtient :
aX²+bX+c-2a=0
5) On calcul Δ pour l'équation précédente :
Δ=b²-4*a*(c-2a)
si Δ<0, l'équation n'a pas de solution soit si b²<4a(c-2a)
x^4-x³-10x²-x+1=0
1²>4*1(-10-2) donc l'équation a des solutions
⇔(x+1/x)²+(x+1/x)-10-2=0
On pose X=x+1/x et on obtient :
X²+X-12=0
Δ=1+4*12=49
X1=(-1+7)/2=3
X2=(-1-7)/2=-4
Donc on a
x+1/x=3
Soit x²-3x+1=0
Δ=9-4=5
x1=(3+√5)/2
x2=(3-√5)/2
x+1/x=-4
Soit x²+4x+1=0
Δ=4²-4=12
x3=(-4+√12)/2=-2+√3
x4=(-2-√3)
x1, x2, x3 et x4 sont solutions de x^4-x³-10x²-x+1=0