On appelle nombre triangulaire tout nombre de la forme [tex]frac{n(n+1)}{2}[/tex], n entier naturel non nul. On considère la somme suivante : [tex]S = 1 + frac{

S=1+1/(1+1/3)+1/(1+1/3+1/6)+1/(1+1/3+1/6+1/10)+...+1+1/(1+1/3+1/6+...+1/T(n))
où T(n) est le nombre triangulaire de rang n
ainsi T(1)=1 ; T(2)=3 ; T(3)=6 ; ... etc
on sait que 1/(1+1/3+1/6+...+1/T(n))=T(n)/n²
donc on obtient
S=T(1)/1²+T(2)/2²+T(3)/3²+...T(n)/n²
par conséquent, les inverses des nombres triangulaires s'écrivent :
2/(n(n+1))=2(1/n-1/(n+1)) pour n≥1
or 2023066 est le 2011ème nombre triangulaire car 2011*2012/2=2023066
donc la somme S revient à :
S=somme de 1 à 2011 (1/(somme de i=1 à n de 2(1/n-1/(n+1))
 =2*somme de 1 à 2011 (1+1/n)
donc
S=1/2(2011+somme de 1 à 2011 (1/n))
or on sait que somme de 1 à 2011 (1/n)) ≈ ln(n)
avec n=2011 on obtient S>1/2(2011+ln(2011))
donc S>1009