Un grenouille capricieuse fait des sauts de longueurs variables mesurés en nombres entiers. Elle part d'un point O et elle revient à ce point avant d'effectuer

On range les 9 longueurs des allers simples dans l’ordre croissant :
0 < x1 ≤ x2 ≤ … ≤ x9.
On a d’après l’énoncé : ∑9i=1xi=90
Si x9 = 10 alors tous les xi valent 10 et la somme de trois d’entre eux vaut toujours 30 mais alors les sauts ne sont pas de longueurs variables.
Si x9 > 10
Soit x6 ≤ 10 et alors x9 + x8 + x7 = 30 + ∑6i=1(10-xi)> 30.
L’inégalité est stricte car si la somme, dont les 6 termes sont à priori positifs ou nuls, était nulle on aurait x1 = x2 = … = x6 = 10 ; mais alors x8 + x7 serait inférieur à 20 et donc x7 < 10 = x6. Contradiction.
Soit x6 > 10 et alors x9 + x8 + x7 > 30.
Si tous les sauts ne sont pas identiques on a l’inégalité : x9 + x8 + x7 > 30.