dans un parc de jeux d'eau les jets sortant d'un axe cylindrique perce décrivent des arcs de paraboles 2 jets situes dans le même plan vertical sortent à 14 dm

Bonsoir Gonza748

a/ justifier sans calcul que chacune des 2 paraboles représentent des fonctions f et g de la forme x|->ax²+b

Le sommet de la parabole se trouve sur l'axe des ordonnées. 
Les paraboles P dont le sommet est à l'origone O(0;0) ont une équation de la forme y = ax².
Si le sommet est sur l'axe des ordonnées au point (0;b), elles proviennent d'une translation de la parabole P qui applique (0;0) sur (0;b). 
Leur équation est alors de la forme : y = ax² + b

 b/ dans chacun des cas calculer a et b.

Premier cas
Le sommet est en (0;14) ==> 14 = a * 0 + b
                                    ==> 14 = b.
L'équation est de la forme : y = ax² + 14.

Cette parabole comprend également le point (10;0). 
Remplaçons dans cette équation x par 10 et y par 0. 
0 = a * 10² + 14.
0 = 100a + 14
100a = -14
a = -14/100
[tex]a=-\dfrac{7}{50}[/tex]

L'équation de cette parabole est donc : [tex]y=-\dfrac{7}{50}x^2+14[/tex]

Second cas.
Le sommet est en (0;16) ==> 16 = a * 0 + b
                                    ==> 16 = b.
L'équation est de la forme : y = ax² + 16.

Cette parabole comprend également le point (5;0). 
Remplaçons dans cette équation x par 5 et y par 0. 
0 = a * 5² + 16.
0 = 25a + 16
25a = -16
[tex]a=-\dfrac{16}{25}[/tex]

L'équation de cette parabole est donc : [tex]y=-\dfrac{16}{25}x^2+16[/tex].

c/ a quelle hauteur les 2 jets se croisent-ils?  justifier

Résolvons le système composé des deux équations en sachant que l'on a x > 0. 

[tex]\left\lbrace\begin{array}l y=-\dfrac{7}{50}x^2+14 \\\\y=-\dfrac{16}{20}x^2+16\end{array}[/tex]

[tex]-\dfrac{7}{50}x^2+14=-\dfrac{16}{25}x^2+16\\\\\dfrac{16}{25}x^2-\dfrac{7}{50}x^2=16-14\\\\\dfrac{32}{50}x^2-\dfrac{7}{50}x^2=2\\\\\dfrac{25}{50}x^2=2\\\\\dfrac{1}{2}x^2=2\\\\x^2=4\\x=2[/tex]

Remplaçons x par 2 dans l'équation [tex]y=-\dfrac{16}{20}x^2+16[/tex]

[tex]y=-\dfrac{16}{25}\times2^2+16\\\\y=-\dfrac{16}{25}\times 4+16\\\\y=-\dfrac{64}{25}+\dfrac{400}{25}\\\\y=\dfrac{336}{25}=13,44[/tex]

La solution du système est  [tex](x;y)=(2;13,44)[/tex]

Par conséquent les deux jets se croisent à une hauteur de 13,44 dm.
Ce point de croisement des jets se trouve à 2 dm de l'axe cylindrique