Exercice 1: On considère un segment [AB] de longueur 2R (R est un réel positif fixé), de milieu O. On trace un demi cercle de centre O, de rayon R. M est un poi
Mathématiques
Nassor996
Question
Exercice 1:
On considère un segment [AB] de longueur 2R (R est un réel positif fixé), de milieu O. On trace un demi cercle de centre O, de rayon R. M est un point variable de [OA], et on appelle x la distance OM. On trace un rectangle MNPQ, avec N et P sur le demi cercle, et Q le symétrique de M par rapport à O.
Questions:
1) Faire une figure lisible.
2) Quel est l'intervalle de variation de x?
3) Exprimer MN puis l'aire du rectangle MNPQ en fonction de x et de R.
4) On veut que l'aire du rectangle soit égale à la moitié de celle du demi disque.
Montrer que cela revient à résoudre l'équation:
4[tex] x^{4} [/tex]-4R²x²+[tex] frac{ pi ²R^{4} }{16} [/tex]=0
En déduire la (ou les) valeur(s) de x répondant au problème.
On considère un segment [AB] de longueur 2R (R est un réel positif fixé), de milieu O. On trace un demi cercle de centre O, de rayon R. M est un point variable de [OA], et on appelle x la distance OM. On trace un rectangle MNPQ, avec N et P sur le demi cercle, et Q le symétrique de M par rapport à O.
Questions:
1) Faire une figure lisible.
2) Quel est l'intervalle de variation de x?
3) Exprimer MN puis l'aire du rectangle MNPQ en fonction de x et de R.
4) On veut que l'aire du rectangle soit égale à la moitié de celle du demi disque.
Montrer que cela revient à résoudre l'équation:
4[tex] x^{4} [/tex]-4R²x²+[tex] frac{ pi ²R^{4} }{16} [/tex]=0
En déduire la (ou les) valeur(s) de x répondant au problème.
1 Réponse
-
1. Réponse caylus
Bonsoir,
Soit x=OM =>QM=2x
MN²+OM²=R²=>MN=√(R²-x²)
Aire MNPQ=2x*√(R²-x²)
On a donc: 2x√(R²-x²)=πR²/4
ou encore 64x²(R²-x²)=πR²
=> 64x^4-64R²x²+πR^4/16=0
=>4x^4-4R²x²+πR^4/16=0
On pose Z=x²
=> 4Z²-4R²Z+πR^4/16=0
Z1=(4R²+R²√(16-π))/8 ≈0.948232 R² =>x=0.9737772... R
Z2=(4R²-R²√(16-π))/8 ≈0.0517672 R²=> x=0.2275241.. R