Soit [tex](u_n)[/tex] une suite de réels positifs. On a [tex]u_0 = 1[/tex] et pour tout entier n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes u0, u1,...

Démontrer que (u) tend vers 0 revient à dire que pour tout réel e, il existe un rang n suffisamment grand tel que, pour tout rang supérieur à celui-ci, on ait:
0-e ≥ u(n) ≥ 0+e
donc -e ≥ u(n) ≥ e

La définition de (u) revient à dire que pour tout rang n supérieur ou égal à 1, il existe au moins E(n/2) rangs notés k tels que u(k) ≥ 2.u(n) .
Réciproquement, on peut dire que pour tout entier positif n, il existe au moins un rang m tel que:
m<n et u(n) ≤ 1/2.u(m)

Ainsi, si on pose e=1/2.u(m) , on a u(n) ≤ e .
Puisque (u) est une suite de réel positif, il est vrai de dire que pour tout n suffisamment grand, il existe un réel u(m) tel que u(n) ≤ 1/2.u(m) .
De plus, on a 1/2>0  et u(m)>0  (par définition de (u) ).
On peut donc dire que -1/2.u(m)<0 .
Or, puisque u(n)>0, on a -e ≤ u(n) ≤ e.

On a donc, à partir d'un rang n (arbitrairement grand), pour tout réel e,
-e ≤ u(n) ≤ e
 donc (u) tend vers 0.
on appelle ce type de suite une suite majoritairement décroissante vers 0