Bonjour, Suite à un exo de shokin, j'essaie de démontrer une formule.. (a - b)(a + b) = a² - b² (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a3 - b3 (a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^

Bonjour Sabola3

(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a^4 - b^4
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a^5 - b^5

On peut conjecturer que   [tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]

Démontrons-le par récurrence.

Initialisation : n = 0

[tex]a^{0+1}-b^{0+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^0a^{0-0}\,b^0\\\\a-b=(a-b)\times1\\\\a-b=a-b[/tex]
L'initialisation est vraie.

Hérédité.
Nous supposons que la formule est vraie pour un certain rang n entier naturel.
Montrons que la formule est encore vraie pour le rang (n+1)

Nous supposons que   [tex]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k[/tex]
Nous devons démontrer que  [tex]a^{n+2}-b^{n+2}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k[/tex]

En effet, 

[tex](a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-(n+1)}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-n-1}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{0}b^{n+1}}\\\\\\[/tex]

[tex]=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)\times1\times b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a\times a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=a(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}[/tex]

[tex]=a(a^{n+1}-b^{n+1})+(a-b)b^{n+1}}\ \ (en\ utilisant\ l'hypoth\grave{e}se)\\\\=a\times a^{n+1}-a\times b^{n+1}+a\times b^{n+1}-b\times b^{n+1}}\\\\=a^{n+2}-ab^{n+1}+ab^{n+1}-b^{n+2}}\\\\=a^{n+2}-b^{n+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vérifiée.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la formule suivante est correcte : 
 [tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]