démontrer que lorsque x tends vers 0 alors lim x*ln(x)=0 comment le démontrer svp ??????

Bonjour  Kpodo139

Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, nous avons : 

[tex]x\times\ln(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\times (-\ln(\dfrac{1}{x}))\\\\\\x\times\ln(x)=\dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}[/tex]

D'où

[tex]\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}\ \ (avec\ t=\dfrac{1}{x})[/tex]

Or  
[tex]\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{\ln(t)}{t}=0\\\\\Longrightarrow\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}=0[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=0}[/tex]