pour tous réels a et b : sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a) cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) cos (2a) = 1 - 2 sin^2 (a). On admet qu
Mathématiques
Vuai738
Question
pour tous réels a et b :
sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)
cos (2a) = 1 - 2 sin^2 (a).
On admet que lim x ten vers 0 sin x/x = 1
1. a) h est un réel non nul. justifier les égalités suivantes:
[1 – cos(h)] / h = [2(sin^2 h/2)] / h = (sin h/2)/(h/2) * sin h/2
b) Determiner les limites de sin h/2 et (sin h/2) / (h/2) lorsque h tend vers 0.
c) En déduire la limite de [1 - cos(h)] / h lorsque h tend vers O.
2. a) Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel h différent de 0,
[ sin(a+h) - sin(a) -] / h = - sin(a) * [1 - cos(h)] / h + cos(a) * sin(h) / h
b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et donner sin’ (a).
3. Démontrer que la fonction cosinus est dérivable en a et donner cos' (a) .
a la question 1a), j'ai trouvé la solution, je trouve
cos(2a) = 1-2sin^2(a) donc
cos(2a/2) + 2sin^2(a/2) = 1 donc
2sin^2(a/2) = 1 - cos(2a/2) donc
2(sin^2 a/2) = 1 - cos(a) soit
[2(sin^2 a/2)] / h = [1 - cos(a)] / h
a la question 1b), je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sur. Je dirai
lim sin h/2 = 0 et
lim [sin h/2] / (h/2) = 1 (comme lim sin x/x = 1 )
a la question c), je pense que la limite est 0, mais comment justifier ?
Est-ce parce que lim[sin h/2] / (h/2) * lim sin h/2 = 1*0 = 0 ?
ensuite, je n'arrive pas a la question 2 a), je bloque.
J'ai cherché a developper plusieurs choses, telles que :
sin(a) = [sin(a+b) - sin(b)cos(b)] / cos(b)
sin(a) = [cos(a+b) - soc(a)cos(b)]/ -sin(b)
sin (a+h) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
aidez moi s'il vous plait
merci beaucoup d'avance
sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)
cos (2a) = 1 - 2 sin^2 (a).
On admet que lim x ten vers 0 sin x/x = 1
1. a) h est un réel non nul. justifier les égalités suivantes:
[1 – cos(h)] / h = [2(sin^2 h/2)] / h = (sin h/2)/(h/2) * sin h/2
b) Determiner les limites de sin h/2 et (sin h/2) / (h/2) lorsque h tend vers 0.
c) En déduire la limite de [1 - cos(h)] / h lorsque h tend vers O.
2. a) Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel h différent de 0,
[ sin(a+h) - sin(a) -] / h = - sin(a) * [1 - cos(h)] / h + cos(a) * sin(h) / h
b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et donner sin’ (a).
3. Démontrer que la fonction cosinus est dérivable en a et donner cos' (a) .
a la question 1a), j'ai trouvé la solution, je trouve
cos(2a) = 1-2sin^2(a) donc
cos(2a/2) + 2sin^2(a/2) = 1 donc
2sin^2(a/2) = 1 - cos(2a/2) donc
2(sin^2 a/2) = 1 - cos(a) soit
[2(sin^2 a/2)] / h = [1 - cos(a)] / h
a la question 1b), je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sur. Je dirai
lim sin h/2 = 0 et
lim [sin h/2] / (h/2) = 1 (comme lim sin x/x = 1 )
a la question c), je pense que la limite est 0, mais comment justifier ?
Est-ce parce que lim[sin h/2] / (h/2) * lim sin h/2 = 1*0 = 0 ?
ensuite, je n'arrive pas a la question 2 a), je bloque.
J'ai cherché a developper plusieurs choses, telles que :
sin(a) = [sin(a+b) - sin(b)cos(b)] / cos(b)
sin(a) = [cos(a+b) - soc(a)cos(b)]/ -sin(b)
sin (a+h) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
aidez moi s'il vous plait
merci beaucoup d'avance
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Vuai738
1. a) h est un réel non nul. justifier les égalités suivantes:
[1 – cos(h)] / h = [2(sin^2 h/2)] / h = (sin h/2)/(h/2) * sin h/2
Nous savons que [tex]\cos (2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 (\alpha).[/tex]
[tex]\text{Si}\ \alpha=\dfrac{h}{2}, \ \text{alors}\ \cos(2\times\dfrac{h}{2}) = 1 - 2 \sin^2\dfrac{h}{2}\\\\\cos(h) = 1 - 2 \sin^2\dfrac{h}{2}\\\\1-\cos(h)=2\sin^2\dfrac{h}{2}\\\\\\\dfrac{1-\cos(h)}{h}=\dfrac{2\sin^2\dfrac{h}{2}}{h} [/tex]
[tex]\dfrac{1-\cos(h)}{h}=2\times\dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{h}\times\sin(\dfrac{h}{2})\\\\\dfrac{1-\cos(h)}{h}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\times\dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{h}\times\sin(\dfrac{h}{2})\\\\\dfrac{1-\cos(h)}{h}=\dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{\dfrac{h}{2}}\times\sin(\dfrac{h}{2})[/tex]
b) Déterminer les limites de sin h/2 et (sin h/2) / (h/2) lorsque h tend vers 0.
Nous savons que [tex] \lim_{\alpha \to 0} \dfrac{\sin(\alpha)}{\alpha}=1[/tex]
[tex]\text{Si}\ \alpha=\dfrac{h}{2}, \text{alors}\ \lim_{\frac{h}{2} \to 0} \dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{\dfrac{h}{2}}=1\\\\\Longrightarrow \boxed{\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{\dfrac{h}{2}}=1}[/tex]
De plus,
[tex] \lim_{h\to0} \sin(\dfrac{h}{2})=\sin(0)\\\\ \boxed{\lim_{h\to0} \sin(\dfrac{h}{2})=0}[/tex]
c) En déduire la limite de [1 - cos(h)] / h lorsque h tend vers 0.
[tex]\lim_{h\to0} \dfrac{1-\cos(h)}{h}=\lim_{h\to0} [\dfrac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\times\sin(\dfrac{h}{2}) ]\\\\\lim_{h\to0} \dfrac{1-\cos(h)}{h}=\lim_{h\to0} \dfrac{\sin(\dfrac{h}{2})}{\dfrac{h}{2}}\times\lim_{h\to0} \sin(\dfrac{h}{2}) \\\\\lim_{h\to0} \dfrac{1-\cos(h)}{h}=1\times0 \\\\\boxed{\lim_{h\to0} \dfrac{1-\cos(h)}{h}=0}[/tex]
2. a) Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel h différent de 0,
[ sin(a+h) - sin(a) -] / h = - sin(a) * [1 - cos(h)] / h + cos(a) * sin(h) / h
[tex]\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\dfrac{\sin(a)\cos(h)+\sin(h)\cos(a)-\sin(a)}{h}\\\\\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\dfrac{-\sin(a)+\sin(a)\cos(h)+\sin(h)\cos(a)}{h}\\\\\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\dfrac{-\sin(a)(1-\cos(h))+\sin(h)\cos(a)}{h}\\\\\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=\dfrac{-\sin(a)(1-\cos(h))}{h}+\dfrac{\sin(h)\cos(a)}{h}\\\\\boxed{\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}=-\sin(a)\times\dfrac{1-\cos(h)}{h}+\cos(a)\times\dfrac{\sin(h)}{h}}[/tex]
b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et donner sin’ (a).
[tex]\sin'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}\\\\\sin'(a)=\lim_{h\to0} [-\sin(a)\times\dfrac{1-\cos(h)}{h}+\cos(a)\times\dfrac{\sin(h)}{h}}]\\\\\sin'(a)=-\sin(a)\times\lim_{h\to0} [\dfrac{1-\cos(h)}{h}]+\cos(a)\times\lim_{h\to0} [\dfrac{\sin(h)}{h}}]\\\\\sin'(a)=-\sin(a)\times0+\cos(a)\times1\\\\\boxed{\sin'(a)=\cos(a)}[/tex]
[tex]\sin'(a)[/tex] existe et est un nombre réel.
Par conséquent,
la fonction sinus est dérivable en a et [tex]\sin'(a)=\cos(a)[/tex]
3. Démontrer que la fonction cosinus est dérivable en a et donner cos' (a) .
[tex]\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}=\dfrac{\cos(a)\cos(h)-\sin(h)\sin(a)-\cos(a)}{h}\\\\\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}=\dfrac{-\cos(a)+\cos(a)\cos(h)-\sin(h)\sin(a)}{h}\\\\\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}=\dfrac{-\cos(a)(1-\cos(h))-\sin(h)\sin(a)}{h}\\\\\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}=\dfrac{-\cos(a)(1-\cos(h))}{h}-\dfrac{\sin(h)\sin(a)}{h}\\\\\boxed{\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}=-\cos(a)\times\dfrac{1-\cos(h)}{h}-\sin(a)\times\dfrac{\sin(h)}{h}}[/tex]
[tex]\cos'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}\\\\\cos'(a)=\lim_{h\to0} [-\cos(a)\times\dfrac{1-\cos(h)}{h}-\sin(a)\times\dfrac{\sin(h)}{h}}]\\\\\cos'(a)=-\cos(a)\times\lim_{h\to0} [\dfrac{1-\cos(h)}{h}]-\sin(a)\times\lim_{h\to0} [\dfrac{\sin(h)}{h}}]\\\\\cos'(a)=-\cos(a)\times0-\sin(a)\times1\\\\\boxed{\cos'(a)=-\sin(a)}[/tex]
[tex]\cos'(a)[/tex] existe et est un nombre réel.
Par conséquent,
la fonction cosinus est dérivable en a et [tex]\cos'(a)=-\sin(a)[/tex]