Bonjour, Je dois resoudre un exercice qui me pose assez problème. Le taux d'intérêt est un pont entre le present et l'avenir . Pour les financiers le temps cest
Mathématiques
Fenuku348
Question
Bonjour,
Je dois resoudre un exercice qui me pose assez problème.
"Le taux d'intérêt est un pont entre le present et l'avenir . Pour les financiers le temps cest de l'argent! Le taux d'intérêt leur sert à calculer ce que vaudra demain (valeur future) une somme disponible aujourd'hui
On appelle capitalisation l'augmentation de cette somme (ou capital) par les intérêts. Par exemple 100€ capitalisés pendant dix ans au taux de 4% donne donc environ 148€ dans dix ans. Cela signifie que 148€ disponible dans dix ans valent environ 100€ aujourd'hui. Cette opération qui a l'inverse de la capitalisation consiste à donner la valeur actuelle d'une valeur future est appelée actualisation.
On suppose que le taux d'actualisation annuel est de 4%
1) Monsieur D prête 1000€ a un ami et lui propose de lui rembourser cette somme dans deux ans sans intérêt. Prouver que la valeur actuelle de ces1000€ est de 924,56€(arrondi au centième )
2) une banque investit 10000€ dans une entreprise. Elle estime que cet investissement lui rapportera les années suivantes 1500€ par an durant 8ans.on se propose de savoir si cet investissement est rentable .
On note Vn la valeur actuelle de 1500€ la n-ieme année
Ainsi Vo =1500€
A) justifier que pour tout nombre entier naturel n:
Vn=1500/1,04n
B) en déduire la nature de la suite Vn et l'expression Vn en fonction de n
C)exprimer V1+v2+.....Vn en fonction de n
D) cet investissement est il rentable ?
Je ne sais pas vraiment par quoi commencer et j'aimerai être épaulé afin de comprendre cet exercice au mieu
Merci beaucoup d'avance j'ai vraiment besoin d'aide ! !
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Fenuku348B
1) Le taux d'actualisation annuel est de 4%
1000 € dans deux ans valent [tex]\dfrac{1000}{1+0,04}\ euros=\dfrac{1000}{1,04}\ euros[/tex] dans un an.
1000 € dans deux ans valent aujourd'hui [tex]\dfrac{\dfrac{1000}{1,04}}{1,04}\ euros=\dfrac{1000}{1,04^2}\ euros\approx924,56\ euros[/tex]
Par conséquent,
la valeur actuelle de ces 1000 € est de 924,56 € (arrondi au centième)
2) Le taux d'actualisation annuel est de 4%
[tex]A)\ V_0=1500 [/tex]
La valeur actualisée l'année précédente est [tex]V_1=\dfrac{V_0}{1,04}[/tex]
La valeur actualisée à la 2ème année est [tex]V_2=\dfrac{V_0}{1,04^2}[/tex]
...
La valeur actualisée la n-ième année est [tex]V_n=\dfrac{V_0}{1,04^n}[/tex]
[tex]B)\ V_n=\dfrac{V_0}{1,04^n}\\\\V_n=V_0\times\dfrac{1}{1,04^n}\\\\\boxed{V_n=V_0\times(\dfrac{1}{1,04})^n}[/tex]
Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 1/1,04 et [tex]V_n=1500\times(\dfrac{1}{1,04})^n[/tex]
[tex]C)\ V_1+V_2+V_3+...+V_n=\dfrac{1500}{1,04}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{1,04})^n}{1-\dfrac{1}{1,04}}\\\\V_1+V_2+V_3+...+V_n=\dfrac{1500}{1,04}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{1,04})^n}{\dfrac{1,04-1}{1,04}} \\\\V_1+V_2+V_3+...+V_n=\dfrac{1500}{1,04}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{1,04})^n}{\dfrac{0,04}{1,04}}\\\\\boxed{V_1+V_2+V_3+...+V_n=\dfrac{1500}{0,04}\times(1-(\dfrac{1}{1,04})^n)}[/tex]
[tex]D)\ V_1+V_2+V_3+...+V_8=\dfrac{1500}{0,04}\times(1-(\dfrac{1}{1,04})^8)\\\\V_1+V_2+V_3+...+V_8\approx10\ 099\ euros[/tex]
L'investissement est donc rentable puisque la banque investit 10 000 € et que la valeur actuelle des rentrées d'argent est de 10 099 €