Bonjour. Dans un exercice, il fallait poser X = x + 1/x avec x différent de 0 afin de calculer une équation. On trouvait 2X² - 9X + 4 = 0. J'avais vu que c'étai
Mathématiques
Chilemba843
Question
Bonjour.
Dans un exercice, il fallait poser X = x + 1/x avec x différent de 0 afin de calculer une équation.
On trouvait 2X² - 9X + 4 = 0. J'avais vu que c'était un trinôme du second degré alors j'ai posé delta = -b² + 4ac.
J'ai trouvé X1=4 et X2= 1/2
Le seul problème, c'est pour passer de X à x, car je dois calculer :
4 = x + 1/x
1/2 = x + 1/x
J'ai essayé, mais je bloque toujours vers la fin.
Par exemple, j'ai :
X = x + 1/x
4 = x + 1/x
4 - x = 1/x
4x - x² = 1
x - x² = 1/4
-(x² - x) = 1/4
Et là, j'ai tenté la forme canonique :
-[(x - 1/2 x)² - 1/4 x²] = 1/4
-(x - 1/2 x)² + 1/4 x² = 1/4
-(x - 1/2 x)² = 1/4 - 1/4 x²
Mais à partir de là, je ne sais pas comment faire pour enlever le ² de la première partie pour trouver toutes les solutions possibles dans la deuxième...
Quelqu'un pourrait me diriger sur la bonne voie?
Merci.
Dans un exercice, il fallait poser X = x + 1/x avec x différent de 0 afin de calculer une équation.
On trouvait 2X² - 9X + 4 = 0. J'avais vu que c'était un trinôme du second degré alors j'ai posé delta = -b² + 4ac.
J'ai trouvé X1=4 et X2= 1/2
Le seul problème, c'est pour passer de X à x, car je dois calculer :
4 = x + 1/x
1/2 = x + 1/x
J'ai essayé, mais je bloque toujours vers la fin.
Par exemple, j'ai :
X = x + 1/x
4 = x + 1/x
4 - x = 1/x
4x - x² = 1
x - x² = 1/4
-(x² - x) = 1/4
Et là, j'ai tenté la forme canonique :
-[(x - 1/2 x)² - 1/4 x²] = 1/4
-(x - 1/2 x)² + 1/4 x² = 1/4
-(x - 1/2 x)² = 1/4 - 1/4 x²
Mais à partir de là, je ne sais pas comment faire pour enlever le ² de la première partie pour trouver toutes les solutions possibles dans la deuxième...
Quelqu'un pourrait me diriger sur la bonne voie?
Merci.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Chilemba843
X = x + 1/x
Résoudre l'équation 2X² - 9X + 4 = 0.
Δ = (-9)² - 4 * 2 * 4 = 81 - 32 = 49 > 0
[tex]X_1=\dfrac{9-\sqrt{49}}{4}=\dfrac{9-7}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\X_2=\dfrac{9+\sqrt{49}}{4}=\dfrac{9+7}{4}=\dfrac{16}{4}=4[/tex]
Donc x + 1/x = 1/2 ou x + 1/x = 4.
[tex]1)\ x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{1}{2}\\\\2(x^2+1)=x\\2x^2+2=x\\2x^2-x+2=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\times2\times2=1-16=-15\ \textless \ 0\\\\\text{pas de solution}[/tex]
[tex]2)\ x+\dfrac{1}{x}=4\\\\\dfrac{x^2+1}{x}=4\\\\x^2+1=4x\\x^2-4x+1=0\\\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times1=16-4=12\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3} [/tex]
Par conséquent, les solutions de l'équation en x sont [tex]x=2-\sqrt{3}[/tex] et [tex]x=2+\sqrt{3}[/tex]