svp aidez moi !! merci

Bonjour Bibi26

Exercice 4.

 1) A est le milieu du segment [BM] 

[tex](x_A;y_A)=(\dfrac{x_B+x_M}{2};\dfrac{y_B+y_M}{2})\\\\(2;-1)=(\dfrac{5+x_M}{2};\dfrac{-3+y_M}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}2=\dfrac{5+x_M}{2}\\\\-1=\dfrac{-3+y_M}{2} \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}4=5+x_M\\-2=-3+y_M \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_M=-1\\y_M=1 \end{matrix}\right.\\\\\boxed{M(-1;1)}[/tex]

2)  N est le symétrique de A par rapport à B ==> B est le milieu de [AN]

[tex](x_B;y_B)=(\dfrac{x_A+x_N}{2};\dfrac{y_A+y_N}{2})\\\\(5;-3)=(\dfrac{2+x_N}{2};\dfrac{-1+y_N}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}5=\dfrac{2+x_N}{2}\\\\-3=\dfrac{-1+y_N}{2} \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}10=2+x_N\\-6=-1+y_M \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}x_N=8\\y_N=-5 \end{matrix}\right.\\\\\boxed{N(8;-5)}[/tex]

3) Milieu de [AB]
[tex](\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{2+5}{2};\dfrac{-1-3}{2})=\boxed{(\dfrac{7}{2};-2)}[/tex]

Milieu de [MN]
[tex](\dfrac{x_M+x_N}{2};\dfrac{y_M+y_N}{2})=(\dfrac{-1+8}{2};\dfrac{1-5}{2})=\boxed{(\dfrac{7}{2};-2)}[/tex]

Par conséquent, [AB] et [MN] ont le même milieu (7/2;-2).

Le quadrilatère AMBN est un parallélogramme puisque ses diagonales [AB] et [MN] ont le même milieu.
De plus, comme les points A, M, B et N sont alignés, le quadrilatère AMBN est aplati.
Donc, le quadrilatère AMBN est un parallélogramme aplati.

Exercice 5

Vérifions si les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{CD}[/tex]  sont colinéaires.

[tex]\overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)\\\overrightarrow{AB}\ (2+3\ ;\ 9-3)\\\overrightarrow{AB}\ (5\ ;\ 6)\\\\\overrightarrow{CD}\ (x_D-x_C\ ;\ y_D-y_C)\\\overrightarrow{CD}\ (6+3\ ;\ 4+4)\\\overrightarrow{CD}\ (9\ ;\ 8)[/tex]

Vérifions si le déterminant des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{CD}[/tex]  est nul.

[tex]5\times8-9\times6=40-54=-14\ne0[/tex]

D'où, les droites (AB) et (DC) ne sont pas parallèles.

Exercice 6

1) Nature du triangle ABC ?

[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\AB=\sqrt{(3+1)^2+(-2-0)^2}\\\\AB=\sqrt{16+4}\\\\\boxed{AB=\sqrt{20}}[/tex]

[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\\\AC=\sqrt{(1+1)^2+(4-0)^2}\\\\AC=\sqrt{4+16}\\\\\boxed{AC=\sqrt{20}}[/tex]

[tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\BC=\sqrt{(1-3)^2+(4+2)^2}\\\\BC=\sqrt{4+36}\\\\\boxed{BC=\sqrt{40}}[/tex]

Le triangle ABC est isocèle car AB = AC.
Le triangle ABC est rectangle en A car la relation de Pythagore est vraie (BC² = AB²+AC²).
En effet : BC² = 40 ; AB² = 20 ; AC² = 20  
et 40 = 20+20

D'où le triangle ABC est rectangle isocèle en A.

2) Coordonnées de I

Le cercle (C) est circonscrit au triangle ABC rectangle en A.
Donc son centre I est le milieu de l'hypoténuse [BC]

[tex](x_I;y_I)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{3+1}{2};\dfrac{4-2}{2})\\\\\boxed{(x_I;y_I)=(2;1)}\\\\\boxed{I\ (2;1)}[/tex]

3) Le point D(3;4) appartient-il au cercle ?

Le rayon du cercle est égal à BC/2.

[tex]\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{40}}{2}=\dfrac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}[/tex]

Le point D appartiendra au cercle si  ID a la même longueur que le rayon du cercle, soit si [tex]ID=\sqrt{10}[/tex]

[tex]ID=\sqrt{(x_D-x_I)^2+(y_D-y_I)^2}\\\\ID=\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}\\\\ID=\sqrt{1+9}\\\\\boxed{ID=\sqrt{10}}[/tex]

Par conséquent, le point D appartient bien au cercle circonscrit au triangle ABC.