je voudrais resoudr e cette équation. merci.

Bonsoir TCH

[tex]\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\log_83+\log_8(x+1)}=\log_927[/tex]

Conditions :
[tex](x-1)(x+3)\ \textgreater \ 0\\x+1\ \textgreater \ 0\\\log_83+\log_8(x+1)\neq0[/tex]

Résolution :

[tex]\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\log_83+\log_8(x+1)}=\log_927\\\\\\\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\log_8[3(x+1)]}=\log_9(3\times9)\\\\\\\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\dfrac{\log_2[3(x+1)]}{\log_28}}=\log_93+\log_99[/tex]

[tex]\\\\\\\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\dfrac{\log_2[3(x+1)]}{\log_22^3}}=\log_99^{\frac{1}{2}}+\log_99\\\\\\\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\dfrac{\log_2[3(x+1)]}{3}}=\dfrac{1}{2}+1\\\\\\3\times\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\log_2[3(x+1)]}=\dfrac{3}{2}\\\\\\\dfrac{\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}}{\log_2[3(x+1)]}=\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]\\\\\\\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{2}\times\log_2[3(x+1)]\\\\\log_2\sqrt{(x-1)(x+3)}=\log_2\sqrt{3(x+1)}\\\\\sqrt{(x-1)(x+3)}=\sqrt{3(x+1)}\\\\(x-1)(x+3)=3(x+1)\\x^2+2x-3=3x+3\\x^2-x-6=0\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-6)=1+24=25\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2[/tex]

[tex]\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3[/tex]

La valeur x = -2 est à rejeter car elle ne satisfait pas la condition x+1>0

La valeur x = 3 satisfait les conditions de départ.

Par conséquent,
 l'ensemble des solutions de l'équation est  [tex]\boxed{S=\{3\}}[/tex]